Question transversaleMathsSIMécanismes et mouvements

Pourquoi les deux roues motrices d'une voiture ne tournent-elles pas à la même vitesse dans un virage ?

Q: Rappelez la longueur d'un arc de cercle.

$ℓ=rα$, avec $α$ en radians.

Q: Quel écart pour un virage de rayon 20 m ?

$0,75/20=3,75 %$ de part et d'autre.

Dans un virage de 10 m de rayon, avec une voie de 1,5 m, la roue intérieure parcourt un cercle de 9,25 m de rayon et la roue extérieure de 10,75 m : elle doit tourner 7,5 % plus vite que la moyenne, et l'autre 7,5 % moins vite. Le différentiel permet ces vitesses différentes tout en gardant leur moyenne égale à celle de l'arbre moteur.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En regardant un enfant tourner sur un manège, j'ai remarqué que ceux placés à l'extérieur allaient plus vite que ceux du centre. J'ai fait le lien avec une voiture dans un virage : les roues extérieures parcourent plus de chemin. En sciences de l'ingénieur, j'ai découvert le différentiel, mécanisme ingénieux qui permet aux roues de tourner à des vitesses différentes, et j'ai voulu calculer cet écart.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer des longueurs d'arcs et des vitesses proportionnelles au rayon, et interpréter la relation de moyenne imposée par un mécanisme.

Mathématiques

Longueur d'un arc de cercle, radian (première)
Proportionnalité, pourcentages d'écart (seconde)
Moyenne arithmétique (seconde)

Sciences de l'ingénieur

Transmission de puissance, trains d'engrenages (première, terminale)
Cinématique d'un véhicule en virage (terminale)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Dans un virage, les quatre roues d'une voiture décrivent des cercles concentriques de rayons différents. Si les deux roues motrices étaient reliées par un même axe rigide, l'une devrait glisser. Problématique : quel écart de vitesse faut-il permettre, et comment le mécanisme le réalise-t-il ?
2. Mathématiques : des arcs proportionnels aux rayons
4 min
La voiture tourne autour d'un centre, avec un rayon $R = 10$ R=10 m mesuré au milieu de l'essieu. La voie (distance entre les roues) vaut $e = 1, 5$ e=1,5 m. La roue intérieure décrit un cercle de rayon $R - \frac{e}{2} = 9, 25$ R-e/2=9,25 m, l'extérieure de $R + \frac{e}{2} = 10, 75$ R+e/2=10,75 m.
Pendant que la voiture tourne d'un angle $α$ α (en radians), les arcs parcourus valent $(R \pm \frac{e}{2}) α$ (Rpme/2)α : ils sont proportionnels aux rayons. Les vitesses des roues sont donc dans le rapport $\frac{9 , 25}{10 , 75} \approx 0, 86$ 9,25/10,75≈0,86.
Par rapport à la vitesse au centre de l'essieu : la roue intérieure va $\frac{9 , 25}{10} = 0, 925$ 9,25/10=0,925 fois plus vite, soit 7,5 % de moins ; l'extérieure $1, 075$ 1,075 fois, 7,5 % de plus. La moyenne des deux vitesses égale la vitesse au centre : $\frac{9 , 25 + 10 , 75}{2} = 10$ (9,25+10,75)/2=10.
Pour un virage plus serré (rayon 5 m), l'écart atteint 15 % ; sur autoroute (rayon 1 km), seulement 0,075 %.
3. SI : le différentiel
3 min
Le différentiel est un train d'engrenages placé entre l'arbre moteur et les deux roues. Sa propriété cinématique : la vitesse de rotation du boîtier (liée au moteur) est la moyenne des vitesses des deux roues, $ω_{bo \overset{ı}{ˆ} tier} = \frac{ω _{g} + ω _{d}}{2}$ ω_boîtier=(ω_g+ω_d)/2. En ligne droite, les roues tournent ensemble ; en virage, l'une accélère de ce que l'autre perd.
Défaut : si une roue n'a pas d'adhérence (sur la glace), elle peut tourner très vite pendant que l'autre s'arrête, car seule la moyenne est imposée. Les différentiels à glissement limité ou les systèmes électroniques corrigent ce défaut en freinant la roue qui patine.
4. Conclusion
1,5 min
Dans un virage de 10 m de rayon, la roue extérieure doit tourner 7,5 % plus vite que la moyenne, et l'intérieure 7,5 % moins vite, car les arcs sont proportionnels aux rayons. Le différentiel impose seulement que la moyenne des vitesses égale celle du moteur. J'ouvre sur les voitures électriques à deux moteurs, qui gèrent chaque roue séparément.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

ℓ = r α r_{int} = R - \frac{e}{2} = 9, 25 m r_{ext} = R + \frac{e}{2} = 10, 75 m ℓ=rα r_int=R-e/2=9,25 m r_ext=R+e/2=10,75 m \frac{v _{int}}{v} = 0, 925 \frac{v _{ext}}{v} = 1, 075 ω_{bo \overset{ı}{ˆ} tier} = \frac{ω _{g} + ω _{d}}{2} v_int/v=0,925 v_ext/v=1,075 ω_boîtier=(ω_g+ω_d)/2

Conclusion : la réponse à la question

La différence de vitesse entre les roues découle de la proportionnalité entre arc et rayon. Le différentiel réalise mécaniquement une moyenne, et ses limites s'expliquent par cette même relation.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Rappelez la longueur d'un arc de cercle.

$ℓ = r α$ ℓ=rα, avec $α$ α en radians.

Quel écart pour un virage de rayon 20 m ?

$\frac{0 , 75}{20} = 3, 75 %$ 0,75/20=3,75 % de part et d'autre.

Que se passe-t-il si une roue est sur la glace ?

Elle patine : sa vitesse augmente et l'autre roue peut s'arrêter, la moyenne restant fixée.

Pourquoi les roues non motrices n'ont-elles pas besoin de différentiel ?

Elles sont indépendantes et tournent librement chacune à sa vitesse.

Démontrez que la moyenne des vitesses vaut la vitesse au centre.

$\frac{( R - e /2 ) + ( R + e /2 )}{2} α = R α$ ((R-e/2)+(R+e/2))/2α=Rα.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier que les rayons se mesurent depuis le centre du virage.
Confondre l'écart relatif entre les deux roues et l'écart à la moyenne.
Croire que le différentiel impose la vitesse de chaque roue.

Revoir les notions

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