Pourquoi un rail de chemin de fer peut-il se déformer en été, et comment l'éviter ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Pendant une canicule, des trains ont été ralentis parce que des rails s'étaient déformés. Je me suis demandé comment une barre d'acier peut se tordre seule. En sciences de l'ingénieur, j'ai appris que la dilatation thermique combinée à la loi de Hooke crée d'énormes contraintes. J'ai voulu calculer leur ordre de grandeur sur un kilomètre de voie.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser des relations de proportionnalité pour calculer un allongement et une contrainte, et comparer à la résistance du matériau.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Les matériaux s'allongent quand ils chauffent. Un rail est exposé au soleil en été et au gel en hiver. Problématique : de combien s'allonge-t-il, et que se passe-t-il si on l'empêche de s'allonger ?

2. 2. Mathématiques : allongement et contrainte

   4 min

   L'allongement est proportionnel à la longueur et à l'écart de température : $\Delta L=\alpha L\Delta T$Δ L=α LΔ T, avec $\alpha =1,2\times 10^{-5}$α=1,2×10⁻⁵ par °C pour l'acier. Pour $L=1000$L=1 000 m et $\Delta T=50$Δ T=50 °C (de 0 à 50 °C au soleil) : $\Delta L=1,2\times 10^{-5}\times 1000\times 50=0,6$Δ L=1,2×10⁻⁵×1 000×50=0,6 m. Une variation relative de $0,06\%$0,06 %, mais 60 cm sur un kilomètre.

   Si le rail est bloqué à ses extrémités, il ne peut pas s'allonger. Tout se passe comme si on l'avait comprimé de $\Delta L$Δ L. La loi de Hooke $\sigma =E\frac{\Delta L}{L}$σ=E(Δ L)/L donne $\sigma =E\alpha \Delta T=2,1\times 10^{11}\times 1,2\times 10^{-5}\times 50\approx 1,26\times 10^8$σ=EαΔ T=2,1×10¹¹×1,2×10⁻⁵×50≈1,26×10⁸ Pa, soit 126 MPa.

   Résultat remarquable : la contrainte ne dépend pas de la longueur du rail. Un rail de 10 m ou de 10 km bloqué subit la même contrainte. Pour une section d'environ 7 700 mm² (rail courant), cela représente une force d'environ $126\times 7700\approx 970$126×7 700≈970 kN, près de 100 tonnes.

3. 3. SI : les solutions

   3 min

   Autrefois, on laissait des joints de dilatation entre des rails de quelques dizaines de mètres : le « tac-tac » caractéristique des trains. Aujourd'hui, les rails sont soudés sur des kilomètres (longs rails soudés) et fixés sur des traverses lourdes qui empêchent tout déplacement.

   Pour limiter la contrainte, on pose les rails à une température « neutre » d'environ 25 °C, en les tendant si besoin : en été, la compression reste modérée ; en hiver, le rail est tendu, ce que l'acier supporte mieux. Lors des canicules, si le ballast est insuffisant, la compression fait flamber la voie latéralement : c'est la déformation observée.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Un kilomètre de rail s'allongerait de 60 cm pour 50 °C ; bloqué, il subit 126 MPa, quelle que soit sa longueur. La proportionnalité et la loi de Hooke expliquent les déformations de voie en été et la façon de les prévenir. J'ouvre sur les joints de dilatation des ponts, qui répondent au même problème.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Oublier de convertir les gigapascals.
• Croire qu'un rail plus long subit une contrainte plus grande.
• Confondre allongement relatif et allongement absolu.

Revoir les notions

• Fonctions affines (Seconde) →
• Nombres et calculs (Seconde) →

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