Peut-on calculer la production d'une éolienne à partir de la vitesse moyenne du vent ?
La puissance du vent est proportionnelle à v³. Si le vent souffle à 3, 5, 7 et 9 m/s pendant des durées égales, la vitesse moyenne est 6 m/s, mais la moyenne des cubes vaut 306, contre 6³ = 216 : utiliser la vitesse moyenne sous-estime la production d'environ 30 %. La moyenne d'un cube n'est pas le cube de la moyenne.
Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.
Pourquoi cette question : un modèle d'introduction
Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.
En étudiant un projet de parc éolien en sciences de l'ingénieur, j'ai calculé la production à partir de la vitesse moyenne du vent sur le site. Le professeur m'a dit que mon calcul était faux, alors que la formule était juste. J'ai compris que l'erreur venait de la moyenne elle-même : pour une grandeur au cube, on ne peut pas remplacer les valeurs par leur moyenne.
L'enjeu et les notions du programme
Montrer, par le calcul et par un argument de convexité, que la moyenne d'une fonction n'est pas la fonction de la moyenne.
Mathématiques
- Moyenne, variance (seconde, première)
- Convexité d'une fonction, position par rapport aux cordes (terminale)
- Fonction cube (première)
Sciences de l'ingénieur
- Énergies renouvelables : puissance éolienne (terminale)
- Estimation d'une production à partir de données de mesure (terminale)
Le plan de l'exposé en 9,5 min
1. Introduction
1 minLa puissance d'une éolienne est proportionnelle au cube de la vitesse du vent : P=1/2ρ Sc v³ (ρ masse volumique de l'air, S surface balayée, c rendement). Problématique : peut-on estimer sa production à partir de la seule vitesse moyenne du vent ?
2. Mathématiques : moyenne des cubes et cube de la moyenne
4 minSupposons que le vent souffle à 3, 5, 7 et 9 m/s pendant des durées égales. Vitesse moyenne : bar v=6 m/s, donc bar v³=216.
La production moyenne est proportionnelle à la moyenne des cubes : (27+125+343+729)/4=(1 224)/4=306. Le rapport 306/216≈1,42 : le calcul avec la vitesse moyenne sous-estime la production réelle d'environ 30 % (1-216/306).
Explication : la fonction cube est convexe sur [0;+∞[. Pour une fonction convexe, la moyenne des images est supérieure ou égale à l'image de la moyenne (inégalité de Jensen, admise). Géométriquement, la courbe est sous ses cordes : les vents forts « pèsent » beaucoup plus que les vents faibles.
Pour le carré, c'est exactement la formule de König-Huygens : v²̅=bar v²+V(v). L'écart vient de la dispersion des vitesses : plus le vent est irrégulier, plus l'erreur est grande.
3. SI : estimer correctement
3 minLes ingénieurs mesurent le vent pendant au moins un an et construisent sa distribution (le pourcentage de temps passé à chaque vitesse). Ils calculent ensuite la production en utilisant la courbe de puissance réelle de l'éolienne, valeur par valeur.
La courbe réelle n'est cubique qu'entre deux limites : en dessous d'environ 3 m/s, l'éolienne ne démarre pas ; au-delà d'environ 12 m/s, sa puissance est plafonnée ; au-delà de 25 m/s, elle s'arrête par sécurité. Le facteur de charge annuel, rapport entre la production réelle et la production à pleine puissance, est d'environ 20 à 25 % pour l'éolien terrestre en France.
4. Conclusion
1,5 minOn ne peut pas calculer la production d'une éolienne avec la vitesse moyenne du vent : la moyenne des cubes (306) dépasse le cube de la moyenne (216), car la fonction cube est convexe. Il faut toute la distribution des vitesses. J'ouvre sur d'autres situations où ce piège apparaît, comme le calcul d'une consommation moyenne.
Ce que j'écris au tableau
Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.
f(v)̅≥ f(bar v) pour f convexe v²̅=bar v²+V(v)
Conclusion : la réponse à la question
La moyenne d'une grandeur au cube n'est pas le cube de la moyenne : la convexité l'explique et la dispersion le mesure. Une estimation fiable demande la distribution complète des données.
Les questions probables du jury
Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.
Calculez la moyenne des carrés de 3, 5, 7, 9.
(9+25+49+81)/4=41, contre 6²=36 : l'écart 5 est la variance.
Pourquoi la fonction cube est-elle convexe sur [0 ; +∞[ ?
Sa dérivée seconde 6x est positive sur cet intervalle.
Quand a-t-on égalité entre les deux moyennes ?
Quand toutes les vitesses sont égales : variance nulle.
Que devient la puissance si la vitesse double ?
Elle est multipliée par 2³=8.
Qu'est-ce que le facteur de charge ?
Le rapport entre l'énergie produite sur une période et celle qu'aurait produite l'éolienne à pleine puissance en permanence.
Les pièges qui coûtent des points
- Remplacer la moyenne des cubes par le cube de la moyenne.
- Oublier les vitesses de démarrage et de coupure.
- Confondre puissance installée et production réelle.
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Préparer l'oral, pas seulement le contenu
Gestion des 20 minutes de préparation, usage du tableau, posture debout, réponses au jury : la méthode complète, conforme aux règles de la session 2027.
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