Question transversaleMathsSIConcevoir et optimiser

À quelle hauteur placer une lampe pour éclairer le mieux possible un point situé à 2 m de son pied ?

Q: Vérifiez que E' change de signe en d/√2.

Le signe de $E'$ est celui de $d²-2h²$ : positif pour $h<d/sqrt2$, négatif ensuite.

Q: Pourquoi le maximum est-il « plat » ?

La dérivée est nulle à l'optimum : de petits écarts de hauteur changent peu l'éclairement.

L'éclairement en un point vaut E = I cos θ / r², soit E(h) = I h / (h² + d²)^(3/2) pour une lampe à la hauteur h et un point à la distance d. Trop basse, la lumière arrive rasante ; trop haute, elle est trop loin. La dérivée s'annule pour h = d/√2 : pour d = 2 m, environ 1,41 m.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En installant une lampe de bureau, j'ai remarqué que la monter trop haut assombrissait la feuille, et la descendre trop bas aussi pour les bords du bureau. En sciences de l'ingénieur, nous avons étudié l'éclairage d'un poste de travail. J'ai découvert qu'il existe une hauteur optimale, que l'on trouve en étudiant une fonction et sa dérivée.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser un éclairement par une fonction d'une variable, la dériver et trouver son maximum.

Mathématiques

Dérivation d'une fonction composée, d'un quotient (terminale, première)
Variations, maximum (première)
Trigonométrie : cosinus dans un triangle rectangle (seconde)

Sciences de l'ingénieur

Conception d'un poste de travail, ergonomie (terminale)
Optimisation d'un paramètre de conception (terminale)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Une lampe est suspendue à la hauteur $h$ h au-dessus d'un point O. On veut éclairer au mieux un point P du sol situé à la distance $d$ d de O. Problématique : existe-t-il une hauteur optimale, et laquelle ?
2. Mathématiques : maximiser l'éclairement
4,5 min
L'éclairement reçu en P diminue avec le carré de la distance $r$ r à la lampe, et il est multiplié par $cos θ$ cosθ, où $θ$ θ est l'angle entre le rayon et la verticale (la lumière rasante s'étale sur une plus grande surface) : $E = \frac{I c o s θ}{r ^{2}}$ E=Icosθ/r².
Avec $r = h^{2} + d^{2}$ r=√(h²+d²) et $cos θ = \frac{h}{r}$ cosθ=h/r : $E (h) = \frac{I h}{( h ^{2} + d ^{2} ) ^{3/2}}$ E(h)=Ih/((h²+d²)^(3/2)).
Deux effets s'opposent : si $h$ h est petit, $cos θ$ cosθ est petit ; si $h$ h est grand, $r$ r est grand. On dérive : $E^{'} (h) = I \frac{( h ^{2} + d ^{2} ) ^{3/2} - h \times \frac{3}{2} ( h ^{2} + d ^{2} ) ^{1/2} \times 2 h}{( h ^{2} + d ^{2} ) ^{3}} = I \frac{d ^{2} - 2 h ^{2}}{( h ^{2} + d ^{2} ) ^{5/2}}$ E'(h)=I((h²+d²)^(3/2)-h×3/2(h²+d²)^(1/2)×2h)/((h²+d²)³)=I(d²-2h²)/((h²+d²)^(5/2)).
$E^{'} (h) = 0 ⟺ h = \frac{d}{2}$ E'(h)=0⇔ h=d/sqrt2. La dérivée est positive avant, négative après : c'est un maximum. Pour $d = 2$ d=2 m : $h \approx 1, 41$ h≈1,41 m. Valeurs de $\frac{E}{I}$ E/I : à 0,5 m, 0,057 ; à 1 m, 0,089 ; à 1,41 m, 0,096 ; à 2 m, 0,088 ; à 3 m, 0,064. Le maximum est assez plat : une hauteur entre 1 et 2 m reste correcte.
3. SI : concevoir un éclairage
2,5 min
Pour éclairer toute une table, on cherche un éclairement le plus uniforme possible : on place la lampe plus haut, ou l'on en met plusieurs. Les normes de poste de travail imposent un éclairement minimal (environ 500 lux pour un bureau) et limitent l'éblouissement.
Le même calcul vaut pour un lampadaire de rue : la hauteur du mât et l'espacement des lampadaires sont choisis pour qu'aucun point du trottoir ne soit trop sombre. La loi en $\frac{c o s θ}{r ^{2}}$ cosθ/r² est aussi celle du flux reçu par un panneau solaire ou une antenne.
4. Conclusion
1,5 min
L'éclairement d'un point à la distance $d$ d est maximal pour une lampe à la hauteur $\frac{d}{2}$ d/sqrt2, soit environ 1,41 m pour 2 m. La dérivation d'une fonction composée tranche entre deux effets opposés. J'ouvre sur la conception des éclairages de stades, où des dizaines de projecteurs doivent donner un éclairage uniforme.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

E (h) = \frac{I cos θ}{r ^{2}} = \frac{I h}{( h ^{2} + d ^{2} ) ^{3/2}} E^{'} (h) = I \frac{d ^{2} - 2 h ^{2}}{( h ^{2} + d ^{2} ) ^{5/2}} E(h)=Icosθ/r²=Ih/((h²+d²)^(3/2)) E'(h)=I(d²-2h²)/((h²+d²)^(5/2)) E^{'} (h) = 0 ⟺ h = \frac{d}{2} \approx 1, 41 m (d = 2) \frac{E}{I} : 0, 057; 0, 089; 0, 096; 0, 088; 0, 064 E'(h)=0\Leftrightarrow h=d/sqrt2\approx1,41 m (d=2) E/I: 0,057; 0,089; 0,096 ; 0,088; 0,064

Conclusion : la réponse à la question

Deux effets contraires, l'éloignement et l'inclinaison, créent un optimum que seule la dérivée localise précisément. L'optimisation d'une fonction sert directement la conception d'un éclairage.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi un facteur cos θ ?

Une lumière qui arrive en biais se répartit sur une plus grande surface : l'éclairement est réduit d'un facteur cos θ.

Pourquoi l'éclairement varie-t-il en 1/r² ?

La lumière se répartit sur une sphère dont la surface croît comme r².

Vérifiez que E' change de signe en d/√2.

Le signe de $E^{'}$ E' est celui de $d^{2} - 2 h^{2}$ d²-2h² : positif pour $h < \frac{d}{2}$ h<d/sqrt2, négatif ensuite.

Quelle hauteur pour un point à 3 m ?

$\frac{3}{2} \approx 2, 12$ 3/sqrt2≈2,12 m.

Pourquoi le maximum est-il « plat » ?

La dérivée est nulle à l'optimum : de petits écarts de hauteur changent peu l'éclairement.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier le facteur cos θ.
Se tromper dans la dérivée de (h² + d²)^(3/2).
Croire que la lampe la plus proche éclaire toujours le mieux.

Revoir les notions

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