Question transversaleMathsSIAsservissement et régulation

Comment le niveau d'eau d'une cuve qui se remplit et se vide en même temps se stabilise-t-il ?

Q: Pourquoi la loi de Torricelli rend-elle l'équation non linéaire ?

Le débit dépend de $ √h $ et non de $h$ : l'équation $Sh'=Qₑ-c √h $ n'est pas de la forme $y'=ay+b$.

Si le débit de sortie est proportionnel à la hauteur, la cuve suit S h' = Qₑ − a h : un premier ordre. Avec S = 2 m², Qₑ = 0,01 m³/s et a = 0,005 m²/s, le niveau tend vers 2 m avec τ = S/a = 400 s, et se stabilise à 5 % près en 20 min. Le système se régule tout seul.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En visitant une station de traitement de l'eau, j'ai vu des cuves dont le niveau restait stable alors que l'eau entrait et sortait en permanence. En sciences de l'ingénieur, nous avons modélisé une cuve, et j'ai découvert qu'elle se comporte comme un système du premier ordre : plus elle est pleine, plus elle se vide vite, ce qui la stabilise naturellement.

L'enjeu et les notions du programme

Établir un bilan de volume, en déduire une équation différentielle du premier ordre et interpréter son équilibre comme une autorégulation.

Mathématiques

Dérivée comme taux de variation (première)
Équations différentielles y' = ay + b (terminale)
Fonction racine carrée et approximation affine (seconde, première)

Sciences de l'ingénieur

Bilan de débit, système hydraulique (terminale)
Système du premier ordre, régulation de niveau (terminale)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Une cuve reçoit un débit $Q_{e}$ Qₑ et se vide par un orifice au fond. Problématique : comment évolue le niveau, et pourquoi finit-il par se stabiliser même sans régulation ?
2. Mathématiques : bilan et équation
4 min
Le volume vaut $V = S h$ V=Sh, où $S$ S est la section. Sa variation par unité de temps est le débit entrant moins le débit sortant : $S h^{'} = Q_{e} - Q_{s}$ Sh'=Qₑ-Q_s.
Modèle linéaire : $Q_{s} = ah$ Q_s=ah (valable pour une sortie par un long tuyau étroit, ou comme approximation autour d'un niveau). Alors $h^{'} = - \frac{a}{S} h + \frac{Q _{e}}{S}$ h'=-a/Sh+Qₑ/S : équation $y^{'} = a y + b$ y'=ay+b. Solution partant de $h (0) = 0$ h(0)=0 : $h (t) = h_{\infty} (1 - e^{- t / τ})$ h(t)=h_∞(1-e^(-t/τ)) avec $h_{\infty} = \frac{Q _{e}}{a}$ h_∞=Qₑ/a et $τ = \frac{S}{a}$ τ=S/a.
Application : $S = 2$ S=2 m², $Q_{e} = 0, 01$ Qₑ=0,01 m³/s, $a = 0, 005$ a=0,005 m²/s : $h_{\infty} = 2$ h_∞=2 m, $τ = 400$ τ=400 s. À 5 % près, le niveau est stable après $3 τ = 1200$ 3τ=1 200 s, soit 20 min.
Pour un simple orifice, la loi de Torricelli donne $Q_{s}$ Q_s proportionnel à $h$ √h : l'équation n'est plus linéaire. Autour du niveau d'équilibre, on remplace $h$ √h par son approximation affine (sa tangente), et l'on retrouve un premier ordre.
3. SI : autorégulation et régulation
3 min
La cuve est « autorégulante » : si le niveau monte, le débit de sortie augmente et le fait redescendre, et inversement. L'équilibre $h_{\infty}$ h_∞ est stable.
Pour imposer un niveau précis malgré les variations de débit, on ajoute une régulation : un capteur de niveau commande une vanne d'entrée. Le flotteur d'une chasse d'eau est un correcteur proportionnel mécanique : plus le niveau est bas, plus la vanne est ouverte. Un débit d'entrée doublé doublerait $h_{\infty}$ h_∞ dans le modèle linéaire : la cuve doit être assez haute pour ne pas déborder.
4. Conclusion
1,5 min
Un bilan de débit donne une équation du premier ordre : le niveau tend vers $\frac{Q _{e}}{a} = 2$ Qₑ/a=2 m avec une constante de temps $\frac{S}{a} = 400$ S/a=400 s. La cuve se régule naturellement, et une vanne commandée affine ce réglage. J'ouvre sur les réseaux de cuves reliées, qui donnent des systèmes d'équations couplées.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

S h^{'} = Q_{e} - ah \Rightarrow h (t) = h_{\infty} (1 - e^{- t / τ}), h_{\infty} = \frac{Q _{e}}{a}, τ = \frac{S}{a} Sh'=Qₑ-ah \Rightarrow h(t)=h_\infty(1-e^(-t/τ)), h_\infty=Qₑ/a, τ=S/a S = 2, Q_{e} = 0, 01, a = 0, 005 : h_{\infty} = 2 m, τ = 400 s, 3 τ = 20 min S=2, Qₑ=0,01, a=0,005: h_\infty=2 m , τ=400 s , 3τ=20 min

Conclusion : la réponse à la question

Le niveau d'une cuve se stabilise parce que le débit de sortie croît avec la hauteur : c'est un système du premier ordre autorégulant. Un bilan et une équation différentielle permettent de prévoir le niveau et le temps de stabilisation.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Vérifiez l'unité de τ = S/a.

m² divisé par m²/s : des secondes.

Que devient h∞ si le débit d'entrée double ?

Il double : 4 m dans le modèle linéaire.

Pourquoi la loi de Torricelli rend-elle l'équation non linéaire ?

Le débit dépend de $h$ √h et non de $h$ h : l'équation $S h^{'} = Q_{e} - c h$ Sh'=Qₑ-c √h n'est pas de la forme $y^{'} = a y + b$ y'=ay+b.

Qu'est-ce qu'un équilibre stable ?

Un état vers lequel le système revient après une petite perturbation.

Comment le flotteur d'une chasse d'eau régule-t-il ?

Il ferme progressivement la vanne quand le niveau monte : la commande dépend de l'écart au niveau voulu.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier le débit de sortie dans le bilan.
Confondre volume et hauteur (facteur S).
Appliquer le modèle linéaire sans rappeler qu'il est une approximation.

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