Question transversaleMathsSIAsservissement et régulation

À quelle fréquence un système embarqué doit-il calculer pour simuler correctement un phénomène ?

Q: D'où vient la formule de la méthode d'Euler ?

De l'approximation affine $y(t+h)≈ y(t)+h y'(t)$.

Q: Que vaut la limite de (1 − 1/n)ⁿ ?

$e⁻¹$ : la méthode d'Euler converge vers la solution exacte quand le pas tend vers 0.

Pour simuler τ y' + y = u avec un pas h, la méthode d'Euler donne yₙ₊₁ = yₙ + (h/τ)(u − yₙ) : l'écart est multiplié par 1 − h/τ. Avec h = τ/10, après dix pas on obtient 0,349 au lieu de e⁻¹ ≈ 0,368. Avec h > 2τ, la simulation explose alors que le vrai système est stable.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En sciences de l'ingénieur, nous avons programmé une simulation de moteur sur une carte électronique. Avec un pas de calcul trop grand, la vitesse simulée se mettait à osciller de façon absurde, alors que le vrai moteur était parfaitement calme. J'ai compris que la méthode d'Euler, étudiée en première pour construire l'exponentielle, pouvait elle-même être instable.

L'enjeu et les notions du programme

Comparer la solution exacte d'une équation différentielle et son approximation par la méthode d'Euler, et déterminer une condition de stabilité sur le pas.

Mathématiques

Méthode d'Euler, approximation affine (première)
Suites géométriques (première)
Équations différentielles y' = ay + b, limite (1 + x/n)ⁿ (terminale)

Sciences de l'ingénieur

Simulation numérique d'un système (terminale)
Échantillonnage, période de calcul d'un système embarqué (terminale)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Un système embarqué simule ou commande un phénomène en calculant pas à pas, avec une période $h$ h. Problématique : comment choisir $h$ h pour que le calcul reste fidèle, et que se passe-t-il s'il est trop grand ?
2. Mathématiques : Euler et sa stabilité
4,5 min
On simule $τ y^{'} + y = u$ τ y'+y=u, dont la solution exacte avec $y (0) = 0$ y(0)=0 est $y (t) = u (1 - e^{- t / τ})$ y(t)=u(1-e^(-t/τ)). Méthode d'Euler : on remplace $y^{'}$ y' par $\frac{y _{n + 1} - y _{n}}{h}$ (yₙ₊₁-yₙ)/h, d'où $y_{n + 1} = y_{n} + \frac{h}{τ} (u - y_{n})$ yₙ₊₁=yₙ+frac hτ(u-yₙ).
L'écart $e_{n} = u - y_{n}$ eₙ=u-yₙ vérifie $e_{n + 1} = (1 - \frac{h}{τ}) e_{n}$ eₙ₊₁=(1-frac hτ)eₙ : suite géométrique, $e_{n} = (1 - \frac{h}{τ})^{n} u$ eₙ=(1-frac hτ)ⁿ u. La valeur exacte est $e (nh) = e^{- nh / τ} u$ e(nh)=e^(-nh/τ)u.
Précision : avec $h = \frac{τ}{10}$ h=fracτ10, après 10 pas ( $t = τ$ t=τ) : $0, 9^{10} \approx 0, 349$ 0,9¹⁰≈0,349, contre $e^{- 1} \approx 0, 368$ e⁻¹≈0,368. Avec $h = \frac{τ}{100}$ h=fracτ100 : $0, 9 9^{100} \approx 0, 366$ 0,99¹⁰⁰≈0,366. On reconnaît $(1 - \frac{1}{n})^{n} \to e^{- 1}$ (1-1/n)ⁿ→ e⁻¹.
Stabilité : la suite tend vers 0 si $1 - \frac{h}{τ} < 1$ |1-frac hτ|<1, c'est-à-dire $0 < h < 2 τ$ 0<h<2τ. Pour $τ < h < 2 τ$ τ<h<2τ, la simulation oscille ; pour $h > 2 τ$ h>2τ, elle explose, alors que le vrai système converge toujours.
3. SI : choisir la période
2,5 min
En pratique, on choisit un pas au moins 10 fois plus petit que la plus petite constante de temps du système : pour un moteur de $τ = 20$ τ=20 ms, un calcul toutes les 2 ms au plus. Le processeur doit pouvoir effectuer tous ses calculs pendant ce pas.
Si le système a des dynamiques très différentes (une très rapide, une très lente), le pas imposé par la plus rapide rend la simulation longue : on utilise alors des méthodes plus stables (Euler implicite) ou à pas variable. Les logiciels de simulation des bureaux d'études font ces choix automatiquement.
4. Conclusion
1,5 min
La méthode d'Euler transforme l'équation en suite géométrique de raison $1 - \frac{h}{τ}$ 1-frac hτ : précise si $h ≪ τ$ hllτ, instable si $h > 2 τ$ h>2τ. Un pas de calcul mal choisi crée des oscillations qui n'existent pas dans la réalité. J'ouvre sur le théorème de Shannon, qui impose aussi une fréquence minimale pour mesurer un signal.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

yₙ₊₁=yₙ+frac hτ(u-yₙ) eₙ=(1-frac hτ)ⁿ u contre e^(-nh/τ)uh=tfracτ10: 0,9¹⁰≈0,349 vs e⁻¹≈0,368 stable ⇔0<h<2τ

Conclusion : la réponse à la question

Un calcul pas à pas n'est fidèle que si le pas est petit devant les temps caractéristiques du système. La méthode d'Euler et les suites géométriques permettent de choisir ce pas et d'éviter des instabilités purement numériques.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

D'où vient la formule de la méthode d'Euler ?

De l'approximation affine $y (t + h) \approx y (t) + h y^{'} (t)$ y(t+h)≈ y(t)+h y'(t).

Que vaut la limite de (1 − 1/n)ⁿ ?

$e^{- 1}$ e⁻¹ : la méthode d'Euler converge vers la solution exacte quand le pas tend vers 0.

Avec h = τ, que donne la simulation ?

L'écart s'annule dès le premier pas : y₁ = u, résultat faux car le vrai système met du temps.

Pourquoi l'instabilité est-elle « numérique » ?

Elle vient de la méthode de calcul, pas du système réel, qui est toujours stable.

Quel pas pour un moteur de constante de temps 20 ms ?

Au plus 2 ms, soit une fréquence de calcul d'au moins 500 Hz.

Les pièges qui coûtent des points

Croire qu'une simulation instable traduit un système instable.
Oublier que la précision dépend du rapport h/τ.
Confondre période de calcul et constante de temps.

Revoir les notions

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