Pourquoi les ponts métalliques et les grues sont-ils faits de triangles ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En passant sous un pylône électrique et en regardant la tour Eiffel, j'ai remarqué que ces structures sont faites de triangles. En sciences de l'ingénieur, j'ai construit un carré avec des baguettes articulées : il s'aplatissait au moindre effort, alors qu'un triangle restait rigide. J'ai voulu comprendre ce résultat avec la géométrie du collège et le calcul des efforts dans les barres.

L'enjeu et les notions du programme

Justifier la rigidité du triangle par un théorème de géométrie et dénombrer les barres nécessaires à une structure rigide.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Un treillis est un assemblage de barres articulées à leurs extrémités. Problématique : pourquoi les triangles le rendent-ils rigide, et combien de barres faut-il ?

2. 2. Mathématiques : le triangle indéformable

   4 min

   Trois longueurs déterminent un triangle à un déplacement près : c'est un cas d'égalité des triangles. Plus précisément, la loi des cosinus (Al-Kashi) $c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$c²=a²+b²-2abcosγ donne $\cos \gamma =\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$cosγ=(a²+b²-c²)/2ab : les angles sont fixés par les côtés. Des barres de longueur fixe forment donc une figure rigide.

   Un quadrilatère articulé ne l'est pas : quatre longueurs ne fixent pas ses angles. Un carré peut devenir un losange de plus en plus aplati. En ajoutant une diagonale, on obtient deux triangles : la figure devient rigide.

   Dénombrement : partons d'un triangle (3 nœuds, 3 barres). Chaque nouveau nœud, fixé par deux nouvelles barres à deux nœuds existants, reste rigide. Par récurrence, un treillis triangulé à $n$n nœuds a $2n-3$2n-3 barres. Cela correspond à un équilibre calculable : chaque nœud donne 2 équations (projections), soit $2n$2n équations pour $2n-3$2n-3 efforts de barres et 3 réactions d'appui.

3. 3. SI : des barres qui ne plient pas

   3 min

   Si les charges sont appliquées aux nœuds, chaque barre ne subit qu'une traction ou une compression le long de son axe : elle ne fléchit pas. C'est très efficace, car une barre résiste beaucoup mieux en traction qu'en flexion.

   Pour un pont, on calcule l'effort de chaque barre en écrivant l'équilibre des nœuds un par un (méthode des nœuds), avec des projections en sinus et cosinus. Les barres comprimées sont vérifiées au flambement, et les barres tendues peuvent être plus fines. La tour Eiffel, les grues et les pylônes appliquent ce principe pour combiner légèreté et rigidité.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Les structures sont faites de triangles parce que trois côtés fixent les angles : le triangle est la seule figure indéformable. Un treillis triangulé à $n$n nœuds compte $2n-3$2n-3 barres, et ses efforts se calculent par un système d'équations. J'ouvre sur les structures en trois dimensions, où le tétraèdre joue le rôle du triangle.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Croire qu'un carré rigide en pratique l'est grâce à sa géométrie : il l'est grâce à ses assemblages soudés.
• Oublier les réactions d'appui dans le décompte des inconnues.
• Confondre traction et compression dans une barre.

Revoir les notions

• Produit scalaire dans le plan (Première spé maths) →
• Suites : récurrence et limites (Terminale spé maths) →

Autres questions : résistance des structures

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