Question transversaleMathsSIConcevoir et optimiser

Pourquoi les réservoirs de gaz sous pression sont-ils souvent sphériques ?

Q: Quelle épaisseur pour une sphère de 2 m de rayon à 20 bars ?

$e=pr/2σ=2×10⁶×2/4×10⁸=10$ mm.

Pour un réservoir de rayon r sous pression p, la contrainte dans la paroi d'épaisseur e vaut p r / e pour un cylindre (sens du tour) mais p r / (2e) pour une sphère. Pour 20 bars, r = 1 m et 200 MPa admissibles, il faut 10 mm d'acier pour le cylindre et 5 mm pour la sphère, qui a en plus la plus petite surface pour un volume donné.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En passant près d'une usine, j'ai remarqué de grosses boules métalliques posées sur des pieds. On m'a dit que c'étaient des réservoirs de gaz sous pression. Je me suis demandé pourquoi on ne faisait pas de simples cylindres, plus faciles à fabriquer. En sciences de l'ingénieur, j'ai découvert qu'un équilibre de forces sur une demi-sphère montre qu'elle supporte la pression avec une paroi deux fois plus mince.

L'enjeu et les notions du programme

Écrire l'équilibre d'une moitié de réservoir pour calculer une contrainte, et comparer des formes par des rapports d'aires et de volumes.

Mathématiques

Aires et volumes : sphère, cylindre, disque (collège, seconde)
Calcul littéral, résolution d'équations (seconde)
Optimisation : comparer des fonctions de r (première)

Sciences de l'ingénieur

Résistance des matériaux : contraintes dans une paroi mince (terminale)
Conception d'appareils sous pression, sécurité (terminale)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Un gaz sous pression pousse sur toute la paroi d'un réservoir. La paroi, mince, doit résister à cette poussée. Problématique : pour un même rayon et une même pression, quelle forme demande la paroi la plus mince ?
2. Mathématiques : couper le réservoir en deux
4,5 min
Sphère : on la coupe en deux hémisphères. La pression pousse les deux moitiés l'une contre l'autre avec une force égale à la pression multipliée par l'aire du disque de coupe : $p π r^{2}$ pπ r². Cette force est retenue par la paroi coupée, un anneau d'aire environ $2 π r e$ 2π re. Contrainte : $σ = \frac{p π r ^{2}}{2 π r e} = \frac{p r}{2 e}$ σ=(pπ r²)/(2π re)=pr/2e.
Cylindre de longueur $L$ L : on le coupe dans le sens de la longueur. La force qui sépare les deux moitiés vaut $p \times 2 r L$ p×2rL, retenue par deux bandes de paroi d'aire $2 e L$ 2eL. Contrainte : $σ = \frac{2 p r L}{2 e L} = \frac{p r}{e}$ σ=2prL/2eL=pr/e, deux fois plus grande.
Épaisseur nécessaire pour $p = 2 \times 1 0^{6}$ p=2×10⁶ Pa (20 bars), $r = 1$ r=1 m, $σ_{adm} = 200$ σ_adm=200 MPa : cylindre $e = \frac{p r}{σ} = 10$ e=fracprσ=10 mm ; sphère $e = \frac{p r}{2 σ} = 5$ e=pr/2σ=5 mm.
De plus, à volume égal, la sphère a la plus petite surface de toutes les formes. Pour un même volume $V$ V, un cylindre aussi haut que large a une surface environ 14 % plus grande. Moins de surface et moins d'épaisseur : la sphère demande beaucoup moins d'acier.
3. SI : pourquoi pas toujours des sphères ?
2,5 min
Une sphère est difficile à fabriquer (tôles cintrées dans deux directions, soudures complexes) et à transporter. Les bouteilles de gaz et les citernes routières sont donc cylindriques, avec des fonds bombés hémisphériques ou elliptiques pour réduire les contraintes aux extrémités.
Pour les grandes capacités fixes (stockage de gaz liquéfié, réservoirs industriels), les économies de matière justifient la sphère. Le calcul des appareils sous pression est encadré par une réglementation stricte, avec des coefficients de sécurité et des épreuves hydrauliques avant mise en service.
4. Conclusion
1,5 min
En coupant le réservoir en deux et en équilibrant les forces, on trouve une contrainte $\frac{p r}{2 e}$ pr/2e pour une sphère contre $\frac{p r}{e}$ pr/e pour un cylindre : la sphère demande une paroi deux fois plus mince, et a en plus la plus petite surface. J'ouvre sur les bulles de savon et les ballons, sphériques pour les mêmes raisons.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

sph \overset{e}{ˋ} re : σ = \frac{p π r ^{2}}{2 π r e} = \frac{p r}{2 e} cylindre : σ = \frac{p \cdot 2 r L}{2 e L} = \frac{p r}{e} sphère : σ=(pπ r²)/(2π re)=pr/2e cylindre : σ=p\cdot2rL/2eL=pr/e p = 20 bars, r = 1 m, σ = 200 MPa : e_{cyl} = 10 mm, e_{sph} = 5 mm p=20 bars , r=1 m , σ=200 MPa : e_cyl=10 mm , e_sph=5 mm

Conclusion : la réponse à la question

Un simple équilibre de forces sur une moitié de réservoir montre que la sphère résiste deux fois mieux à la pression. Les aires et les volumes complètent l'argument : la sphère est la forme la plus économe.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi la force vaut-elle p π r² pour l'hémisphère ?

La résultante des forces de pression sur l'hémisphère égale la pression fois l'aire de sa projection, le disque de coupe.

Quelle épaisseur pour une sphère de 2 m de rayon à 20 bars ?

$e = \frac{p r}{2 σ} = \frac{2 \times 1 0 ^{6} \times 2}{4 \times 1 0 ^{8}} = 10$ e=pr/2σ=2×10⁶×2/4×10⁸=10 mm.

Pourquoi des fonds bombés sur les citernes cylindriques ?

Un fond plat se déformerait fortement ; une forme bombée travaille en tension, comme une sphère.

Quelle forme a la plus petite surface pour un volume donné ?

La sphère.

Que devient la contrainte si la pression double ?

Elle double : il faut doubler l'épaisseur pour garder la même contrainte.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre contrainte dans le sens du tour et dans le sens de la longueur pour le cylindre.
Oublier les unités (bars en pascals).
Croire que la sphère est toujours le meilleur choix, sans tenir compte de la fabrication.

Revoir les notions

Autres questions : concevoir et optimiser

Toutes les questions maths-sciences de l'ingénieur →

Préparer l'oral, pas seulement le contenu

Gestion des 20 minutes de préparation, usage du tableau, posture debout, réponses au jury : la méthode complète, conforme aux règles de la session 2027.

Méthode : traiter une question de Grand oral →

Continuer la préparation

Le Grand oral 2027 →Méthode : traiter une question →Toutes les questions, par combinaison →Questions de maths seules →Questions maths-physique-chimie →Questions maths-SES →Questions maths-SVT →Questions maths-NSI →Questions maths-HGGSP →Questions maths-anglais →