Question transversaleMathsSIRésistance des structures

Pourquoi les cadres de vélo et les échafaudages sont-ils faits de tubes creux plutôt que de barres pleines ?

Q: Que devient le rapport avec D = 80 mm à même masse ?

$d²=6 400-1 600=4 800$, rapport $(6 400+4 800)/(1 600)=7$.

À masse égale, un tube de 60 mm de diamètre extérieur et 44,7 mm intérieur a la même section qu'une barre pleine de 40 mm, mais un moment quadratique 3,5 fois plus grand. Le calcul se simplifie grâce à l'identité D⁴ − d⁴ = (D² + d²)(D² − d²).

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En réparant mon vélo, je me suis demandé pourquoi le cadre était fait de tubes vides, alors qu'une barre pleine semblerait plus solide. En sciences de l'ingénieur, j'ai appris que la rigidité en flexion dépend de la répartition de la matière autour de l'axe. J'ai voulu comparer un tube et une barre de même masse, et une identité remarquable a rendu le calcul élégant.

L'enjeu et les notions du programme

Comparer deux sections de même aire à l'aide de leurs moments quadratiques, en utilisant les identités remarquables.

Mathématiques

Identités remarquables, factorisation (seconde)
Aire du disque, couronne (seconde)
Fonctions puissances (première)

Sciences de l'ingénieur

Flexion, moment quadratique d'une section (terminale)
Choix de la forme pour alléger une structure (première)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
La masse d'une pièce est proportionnelle à l'aire de sa section ; sa rigidité en flexion, à son moment quadratique. Problématique : à masse égale, une section creuse est-elle plus rigide qu'une section pleine, et de combien ?
2. Mathématiques : même aire, rigidité différente
4 min
Barre pleine de diamètre $D_{0} = 40$ D₀=40 mm : aire $\frac{π D _{0}^{2}}{4}$ (π D₀²)/4, moment quadratique $I_{0} = \frac{π D _{0}^{4}}{64}$ I₀=(π D₀⁴)/64.
Tube de diamètres $D$ D (extérieur) et $d$ d (intérieur) : aire $\frac{π}{4} (D^{2} - d^{2})$ fracπ4(D²-d²), moment $I = \frac{π}{64} (D^{4} - d^{4})$ I=fracπ64(D⁴-d⁴). Même masse : $D^{2} - d^{2} = D_{0}^{2}$ D²-d²=D₀². Avec $D = 60$ D=60 mm : $d^{2} = 3600 - 1600 = 2000$ d²=3 600-1 600=2 000, soit $d \approx 44, 7$ d≈44,7 mm.
Rapport des rigidités : $\frac{I}{I _{0}} = \frac{D ^{4} - d ^{4}}{D _{0}^{4}}$ I/I₀=(D⁴-d⁴)/D₀⁴. Par l'identité $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ a²-b²=(a-b)(a+b) appliquée à $D^{4} - d^{4}$ D⁴-d⁴ : $D^{4} - d^{4} = (D^{2} - d^{2}) (D^{2} + d^{2}) = D_{0}^{2} (D^{2} + d^{2})$ D⁴-d⁴=(D²-d²)(D²+d²)=D₀²(D²+d²). Donc $\frac{I}{I _{0}} = \frac{D ^{2} + d ^{2}}{D _{0}^{2}} = \frac{3 600 + 2 000}{1 600} = 3, 5$ I/I₀=(D²+d²)/D₀²=(3 600+2 000)/(1 600)=3,5.
À masse égale, le tube est 3,5 fois plus rigide. Plus le tube est large et mince, plus le rapport grandit : la matière éloignée du centre compte davantage.
3. SI : limites et compromis
3 min
On ne peut pas élargir le tube indéfiniment : une paroi trop mince se cabosse ou flambe localement sous l'effort. Les cadres de vélo utilisent des tubes dont l'épaisseur varie, plus épais aux jonctions où les efforts se concentrent (tubes « butted »).
Les os des oiseaux, creux, et les tiges de bambou appliquent le même principe : la nature a optimisé la rigidité pour un poids minimal. En conception, on compare les matériaux et les formes par le rapport rigidité sur masse, essentiel dans l'aéronautique et le cyclisme.
4. Conclusion
1,5 min
À masse égale, un tube est beaucoup plus rigide qu'une barre pleine : 3,5 fois pour un tube de 60 mm face à une barre de 40 mm. L'identité $D^{4} - d^{4} = (D^{2} + d^{2}) (D^{2} - d^{2})$ D⁴-d⁴=(D²+d²)(D²-d²) donne ce rapport simplement. J'ouvre sur les matériaux composites, qui permettent d'aller plus loin encore.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

I=fracπ64(D⁴-d⁴) D⁴-d⁴=(D²-d²)(D²+d²)D²-d²=D₀²RightarrowI/I₀=(D²+d²)/D₀²=(3 600+2 000)/(1 600)=3,5

Conclusion : la réponse à la question

Éloigner la matière du centre multiplie la rigidité sans ajouter de masse. Une identité remarquable de seconde suffit à le quantifier.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Factorisez D⁴ − d⁴ complètement.

$(D - d) (D + d) (D^{2} + d^{2})$ (D-d)(D+d)(D²+d²).

Que devient le rapport avec D = 80 mm à même masse ?

$d^{2} = 6400 - 1600 = 4800$ d²=6 400-1 600=4 800, rapport $\frac{6 400 + 4 800}{1 600} = 7$ (6 400+4 800)/(1 600)=7.

Pourquoi la masse est-elle proportionnelle à l'aire ?

À longueur et matériau fixés, le volume vaut aire × longueur.

Quelle limite à l'élargissement du tube ?

La paroi devient trop mince et peut se cabosser ou flamber localement.

Un exemple naturel de tube creux ?

Les os longs, les plumes, le bambou.

Les pièges qui coûtent des points

Comparer des sections de masses différentes.
Utiliser le rayon au lieu du diamètre dans une formule écrite avec D.
Oublier le risque de flambement local des parois minces.

Revoir les notions

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