Question transversaleMathsSIAsservissement et régulation

Pourquoi un correcteur numérique trop énergique fait-il osciller ou s'emballer le système qu'il commande ?

Q: Que se passe-t-il pour kG = 2 ?

$q=-1$ : l'écart alterne entre $ε₀$ et $-ε₀$, oscillation entretenue.

Q: Pourquoi un gain négatif est-il absurde ?

$q>1$ : la correction pousse dans le mauvais sens, l'écart grandit sans osciller.

Q: Combien de pas pour diviser l'écart par 1 000 avec q = 0,5 ?

$0,5ⁿ 3ln10/ln2≈9,97$ : 10 pas.

Dans une boucle numérique simple, l'écart vérifie εₙ₊₁ = (1 − kG) εₙ : une suite géométrique. Avec kG = 0,5, il est divisé par 2 à chaque pas ; avec kG = 1,5, il diminue en changeant de signe ; avec kG = 2,5, il est multiplié par −1,5 et explose. La boucle est stable seulement si 0 < kG < 2.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En sciences de l'ingénieur, nous avons programmé un microcontrôleur pour stabiliser la position d'un petit chariot. En augmentant le gain pour aller plus vite, le chariot s'est mis à faire des allers-retours de plus en plus violents. J'ai voulu comprendre ce basculement brutal, et j'ai découvert qu'un modèle très simple le décrit par une suite géométrique.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser une boucle de régulation numérique par une suite récurrente et relier la stabilité à la raison d'une suite géométrique.

Mathématiques

Suites géométriques, comportement selon la raison (première, terminale)
Suites définies par récurrence (première)
Inéquations, valeur absolue (seconde)

Sciences de l'ingénieur

Commande numérique, échantillonnage (terminale)
Stabilité d'un système asservi (terminale)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Un microcontrôleur mesure la sortie à intervalles réguliers, calcule une correction et l'applique jusqu'à la mesure suivante. Problématique : pourquoi un correcteur plus énergique, censé corriger plus vite, peut-il rendre le système instable ?
2. Mathématiques : une suite géométrique
4 min
Modèle simple : à chaque pas, la correction déplace la sortie de $k G$ kG fois l'écart mesuré : $s_{n + 1} = s_{n} + k G (c - s_{n})$ sₙ₊₁=sₙ+kG(c-sₙ). L'écart $ε_{n} = c - s_{n}$ εₙ=c-sₙ vérifie $ε_{n + 1} = (1 - k G) ε_{n}$ εₙ₊₁=(1-kG)εₙ : c'est une suite géométrique de raison $q = 1 - k G$ q=1-kG.
Elle tend vers 0 si et seulement si $∣ q ∣ < 1$ |q|<1, soit $- 1 < 1 - k G < 1$ -1<1-kG<1, c'est-à-dire $0 < k G < 2$ 0<kG<2.
Quatre cas. $k G = 0, 5$ kG=0,5 : $q = 0, 5$ q=0,5, l'écart est divisé par deux à chaque pas (0,5 ; 0,25 ; 0,125…). $k G = 1$ kG=1 : $q = 0$ q=0, l'écart s'annule en un pas, c'est le réglage idéal du modèle. $k G = 1, 5$ kG=1,5 : $q = - 0, 5$ q=-0,5, l'écart change de signe à chaque pas en diminuant : le système dépasse la consigne et oscille en s'amortissant. $k G = 2, 5$ kG=2,5 : $q = - 1, 5$ q=-1,5, les oscillations grandissent (−1,5 ; 2,25 ; −3,375…) : instabilité.
3. SI : régler en pratique
3 min
Sur le chariot, $G$ G dépend de la masse, du moteur et de la période d'échantillonnage. On commence avec un petit gain et on l'augmente jusqu'à l'apparition d'oscillations, puis on revient en arrière, avec une marge de sécurité.
Les systèmes réels sont plus complexes (inertie, retards), mais le phénomène est le même : une correction trop forte « surcorrige » et l'erreur change de signe en grandissant. C'est pour cela que le cahier des charges impose des marges de stabilité. Le même raisonnement vaut pour la méthode d'Euler appliquée avec un pas trop grand.
4. Conclusion
1,5 min
Dans une boucle numérique, l'écart suit une suite géométrique de raison $1 - k G$ 1-kG : stable si $0 < k G < 2$ 0<kG<2, oscillant si $1 < k G < 2$ 1<kG<2, instable au-delà. Un correcteur trop énergique surcorrige. J'ouvre sur l'influence du retard de mesure, qui réduit encore la plage de gains stables.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

ε_{n + 1} = (1 - k G) ε_{n} ∣1 - k G ∣ < 1 ⟺ 0 < k G < 2 εₙ₊₁=(1-kG) εₙ |1-kG|<1\Leftrightarrow0<kG<2 k G = 0, 5 : q = 0, 5 k G = 1 : q = 0 k G = 1, 5 : q = - 0, 5 k G = 2, 5 : q = - 1, 5 (instable) kG=0,5: q=0,5 kG=1: q=0 kG=1,5: q=-0,5 kG=2,5: q=-1,5 ( instable )

Conclusion : la réponse à la question

La stabilité d'un asservissement numérique se lit sur la raison d'une suite géométrique. Plus de gain n'est pas toujours plus de performance : au-delà de 2, chaque correction aggrave l'écart.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Résolvez |1 − x| < 1.

$- 1 < 1 - x < 1 ⟺ 0 < x < 2$ -1<1-x<1⇔0<x<2.

Que se passe-t-il pour kG = 2 ?

$q = - 1$ q=-1 : l'écart alterne entre $ε_{0}$ ε₀ et $- ε_{0}$ -ε₀, oscillation entretenue.

Pourquoi un gain négatif est-il absurde ?

$q > 1$ q>1 : la correction pousse dans le mauvais sens, l'écart grandit sans osciller.

Comment mesurer G expérimentalement ?

On applique une correction connue et on mesure le déplacement obtenu sur une période.

Combien de pas pour diviser l'écart par 1 000 avec q = 0,5 ?

$0, 5^{n} < 1 0^{- 3} ⟺ n > \frac{3 l n 10}{l n 2} \approx 9, 97$ 0,5ⁿ<10⁻³⇔ n>3ln10/ln2≈9,97 : 10 pas.

Les pièges qui coûtent des points

Croire qu'un gain plus grand est toujours plus rapide.
Oublier la valeur absolue dans la condition de convergence.
Confondre oscillation amortie (−1 < q < 0) et instabilité (q < −1).

Revoir les notions

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