Pourquoi un transformateur ou un moteur a-t-il un rendement maximal pour une charge précise, et pas à pleine puissance ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En sciences de l'ingénieur, nous avons mesuré le rendement d'un petit moteur à différentes charges. J'ai été surpris de constater qu'il était meilleur à environ trois quarts de sa puissance qu'à pleine charge. J'ai voulu comprendre pourquoi, et j'ai découvert que c'est un problème d'optimisation qui se résout par une dérivée, avec un résultat simple : pertes fixes égales aux pertes variables.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser un rendement par une fonction rationnelle, rechercher son maximum par la dérivation et interpréter la condition obtenue.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Un transformateur ou un moteur perd de l'énergie de deux façons : des pertes fixes, présentes même à vide (dans le fer, les roulements), et des pertes variables, qui croissent avec la charge (effet Joule dans les fils, proportionnel au carré du courant). Problématique : à quelle puissance le rendement est-il le meilleur ?

2. 2. Mathématiques : maximiser une fonction rationnelle

   4,5 min

   Pertes fixes $P_0=200$P₀=200 W, pertes variables $b{P}^2$bP² avec $b=4\times 10^{-6}$b=4×10⁻⁶ (soit 400 W à 10 kW). Le rendement vaut $\eta (P)=\frac{P}{P+P_0+b{P}^2}$η(P)=P/(P+P₀+bP²).

   On étudie plutôt $\frac{1}{\eta }=1+\frac{P_0}{P}+bP$frac1η=1+P₀/P+bP, qu'il faut minimiser. Sa dérivée est $-\frac{P_0}{P^2}+b$-P₀/P²+b, qui s'annule pour $P^2=\frac{P_0}{b}$P²=P₀/b, soit $P=\sqrt{\frac{P_0}{b}}=\sqrt{5\times 10^7}\approx 7071$P=√(P₀/b)=√(5×10⁷)≈7 071 W. La dérivée est négative avant, positive après : c'est un minimum de $\frac{1}{\eta }$frac1η, donc un maximum de $\eta$η.

   Condition remarquable : en ce point, $b{P}^2=P_0$bP²=P₀ : les pertes variables égalent les pertes fixes. Le rendement maximal vaut $\frac{7071}{7071+400}\approx 94,6\%$(7 071)/(7 071+400)≈94,6 %.

   Ailleurs : à 2 kW, $\eta =\frac{2000}{2000+200+16}\approx 90,3\%$η=(2 000)/(2 000+200+16)≈90,3 % (les pertes fixes dominent) ; à 10 kW, $\frac{10000}{10600}\approx 94,3\%$(10 000)/(10 600)≈94,3 %. La courbe est plate près du maximum, mais chute aux faibles charges.

3. 3. SI : choisir le bon dimensionnement

   2,5 min

   Un transformateur de distribution passe beaucoup de temps à charge partielle : on le conçoit pour que son rendement maximal corresponde à la charge la plus fréquente, souvent autour de 50 à 70 % de sa puissance nominale.

   Surdimensionner un moteur « par sécurité » le fait travailler à faible charge, où les pertes fixes pèsent lourd : on gaspille de l'énergie. C'est pourquoi on choisit un moteur adapté au besoin réel, et pourquoi on éteint les appareils en veille, dont les pertes fixes ne servent à rien.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Le rendement est maximal quand les pertes variables égalent les pertes fixes : environ 7,1 kW et 94,6 % dans l'exemple, pas à pleine charge. La dérivation de $\frac{1}{\eta }$frac1η le démontre simplement. J'ouvre sur les centrales et les véhicules, qui cherchent aussi leur point de fonctionnement optimal.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Croire que le rendement est maximal à pleine puissance.
• Oublier de vérifier le sens de variation autour du point critique.
• Confondre puissance utile et puissance absorbée.

Revoir les notions

• Dérivation et étude des fonctions (Première spé maths) →
• Variations et extremums (Première spé maths) →

Autres questions : énergie et efficacité

• Pourquoi la recharge rapide d'une voiture électrique ralentit-elle fortement après 80 % ?
• Combien d'énergie une voiture électrique récupère-t-elle en freinant ?
• Comment orienter un panneau solaire pour qu'il produise le plus d'électricité ?
• Pourquoi un ascenseur accélère-t-il, roule à vitesse constante puis freine, et combien de temps met-il ?

Toutes les questions maths-sciences de l'ingénieur →