Un point de la roue d'un vélo avance-t-il toujours à la vitesse du vélo ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Sur une photo d'un cycliste en mouvement, j'ai remarqué que les rayons de la roue étaient flous en haut et nets en bas. Je pensais que tous les points de la roue allaient à la même vitesse. En sciences de l'ingénieur, j'ai étudié le roulement sans glissement, et j'ai découvert que le point de contact est immobile tandis que le haut de la roue va deux fois plus vite que le vélo.

L'enjeu et les notions du programme

Paramétrer la trajectoire d'un point d'une roue, calculer son vecteur vitesse par dérivation et simplifier sa norme par la trigonométrie.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Une roue de rayon $R$R roule sans glisser sur le sol à la vitesse $v$v : quand elle a tourné d'un angle $\theta$θ, son centre a avancé de $R\theta$Rθ. Problématique : quelle trajectoire décrit un point du pneu, et quelle est sa vitesse ?

2. 2. Mathématiques : la cycloïde

   4,5 min

   On suit le point du pneu qui touche le sol au départ, à l'origine. Le centre est en $(R\theta ;R)$(Rθ;R). Le point a tourné de $\theta$θ autour du centre ; il est donc en $x=R\theta -R\sin \theta$x=Rθ-Rsinθ, $y=R-R\cos \theta$y=R-Rcosθ. Cette courbe est une cycloïde.

   Avec $\theta =\omega t$θ=ω t et $v=R\omega$v=Rω : $x^{\prime }(t)=v(1-\cos \theta )$x'(t)=v(1-cosθ) et $y^{\prime }(t)=v\sin \theta$y'(t)=vsinθ. La vitesse vaut $\sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}=v\sqrt{(1-\cos \theta {)}^2+{\sin }^2\theta }=v\sqrt{2-2\cos \theta }$√(x'²+y'²)=v√((1-cosθ)²+sin²θ)=v√(2-2cosθ).

   Avec la formule $1-\cos \theta =2{\sin }^2\frac{\theta }{2}$1-cosθ=2sin²fracθ2, on obtient $\Vert \vec{v}\Vert =2v\left|\sin \frac{\theta }{2}\right|$‖ vecteur v ‖=2v|sinfracθ2|.

   Au contact ($\theta =0$θ=0) : vitesse nulle. Le point du pneu qui touche le sol est immobile un instant : c'est la définition du roulement sans glissement. En haut ($\theta =\pi$θ=π) : vitesse $2v$2v. Au niveau du centre ($\theta =\frac{\pi }{2}$θ=fracπ2) : $\sqrt{2}v$sqrt2 v. Un vélo à 30 km/h a le haut de ses roues à 60 km/h.

   Distance parcourue par le point pendant un tour : on montre que la longueur d'une arche de cycloïde vaut $8R$8R, alors que le vélo avance de $2\pi R\approx 6,28R$2π R≈6,28R.

3. 3. SI : roulement et usure

   2,5 min

   Le point de contact immobile explique pourquoi un pneu qui roule s'use peu, et pourquoi le frottement de roulement est bien plus faible que le frottement de glissement. C'est le principe de la roue, mais aussi des roulements à billes.

   Si le contact glisse (freinage bloqué, patinage), le point de contact n'est plus immobile : l'usure et l'échauffement augmentent fortement. Les systèmes d'antiblocage des freins (ABS) cherchent justement à garder les roues proches du roulement sans glissement, où l'adhérence est la meilleure.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Un point du pneu ne va pas à la vitesse du vélo : sa vitesse vaut $2v\left|\sin \frac{\theta }{2}\right|$2v|sinfracθ2|, nulle au sol et double en haut. La dérivation d'une courbe paramétrée et une formule de trigonométrie l'établissent. J'ouvre sur les engrenages, dont les dents ont un profil en développante de cercle, pour rouler sans glisser.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Croire que tous les points de la roue vont à la vitesse du vélo.
• Oublier le mouvement du centre dans la trajectoire.
• Confondre vitesse angulaire et vitesse linéaire.

Revoir les notions

• Fonctions trigonométriques (Terminale spé maths) →
• Trigonométrie (Première spé maths) →

Autres questions : mécanismes et mouvements

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