Faut-il choisir un câble électrique épais et cher, ou fin et bon marché ?
Un câble épais coûte cher à l'achat mais perd peu d'énergie ; un câble fin l'inverse. Si le coût annuel vaut C(S) = 0,5 S + 200/S (achat amorti plus pertes, S en mm²), sa dérivée s'annule pour S = √400 = 20 mm² : 20 € par an, quand les deux coûts sont égaux. C'est la loi de Kelvin, de 1881.
Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.
Pourquoi cette question : un modèle d'introduction
Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.
En sciences de l'ingénieur, nous avons dimensionné l'alimentation électrique d'un atelier. La norme fixait une section minimale, mais le professeur nous a demandé si un câble plus gros pouvait être rentable à long terme, grâce aux économies d'énergie. J'ai découvert que Lord Kelvin avait résolu ce problème au XIXᵉ siècle, par une optimisation que l'on fait en première.
L'enjeu et les notions du programme
Modéliser un coût total comme somme d'un terme croissant et d'un terme décroissant, et le minimiser par dérivation.
Mathématiques
- Fonctions de la forme a x + b / x, dérivation (première)
- Variations, minimum (première)
- Proportionnalité directe et inverse (seconde)
Sciences de l'ingénieur
- Dimensionnement des conducteurs, pertes par effet Joule (terminale)
- Coût global d'une installation (terminale)
Le plan de l'exposé en 9,5 min
1. Introduction
1 minLe prix d'un câble est proportionnel à la quantité de cuivre, donc à sa section S. Les pertes par effet Joule sont inversement proportionnelles à S, car la résistance vaut (ρ L)/S. Problématique : quelle section minimise le coût total sur la durée de vie de l'installation ?
2. Mathématiques : minimiser a S + b / S
4 minOn ramène tout à un coût annuel : l'achat du câble, amorti sur sa durée de vie, coûte aS par an (avec a=0,5 € par mm² et par an) ; l'énergie perdue coûte b/S par an (avec b=200, pour le courant et la durée d'utilisation de l'atelier). Coût total : C(S)=0,5S+200/S.
Dérivée : C'(S)=0,5-200/S², nulle pour S²=400, soit S=20 mm². Elle est négative avant, positive après : c'est un minimum. C(20)=10+10=20 € par an.
À l'optimum, les deux termes sont égaux : aS=b/S. C'est la loi de Kelvin : le coût annuel du cuivre égale le coût annuel des pertes.
Comparaison : en 10 mm², C=5+20=25 € ; en 40 mm², C=20+5=25 €. Une section deux fois trop petite ou deux fois trop grande coûte 25 % de plus.
3. SI : contraintes et choix réels
3 minLa section retenue doit aussi respecter les contraintes de sécurité (échauffement maximal, chute de tension) : on prend la plus grande des sections imposées par ces critères et par l'optimum économique, puis la section normalisée juste au-dessus (16, 25, 35 mm²…).
Quand le prix de l'énergie augmente, b augmente et la section optimale √(b/a) aussi : les installations récentes utilisent des câbles plus gros qu'autrefois. Le même compromis entre investissement et coûts de fonctionnement se retrouve pour l'isolation d'un bâtiment ou le diamètre d'une canalisation.
4. Conclusion
1,5 minLe coût annuel 0,5S+200/S est minimal pour S=20 mm², quand le coût du cuivre égale le coût des pertes : c'est la loi de Kelvin. La dérivation d'une fonction ax+b/x tranche entre investissement et fonctionnement. J'ouvre sur l'isolation thermique, qui obéit au même compromis.
Ce que j'écris au tableau
Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.
C(20)=10+10=20 euros C(10)=C(40)=25 euros
Conclusion : la réponse à la question
Un câble trop fin gaspille de l'énergie, un câble trop gros gaspille du cuivre : l'optimum égalise les deux coûts. Cette loi de Kelvin est une application directe de la dérivation.
Les questions probables du jury
Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.
Pourquoi les pertes sont-elles en b/S ?
La résistance du câble vaut ρL/S, et les pertes RI² sont donc inversement proportionnelles à S.
Que devient la section optimale si l'énergie coûte 4 fois plus cher ?
b est multiplié par 4, S=√(b/a) par 2 : 40 mm².
Démontrez que a S = b/S à l'optimum.
S²=b/a donne aS=b/S.
Pourquoi prendre la section normalisée supérieure ?
Les câbles sont vendus en sections standard, et une section un peu plus grande reste proche de l'optimum, la courbe étant plate.
Quel lien avec l'isolation d'une maison ?
Plus d'isolant coûte plus cher à l'achat mais réduit les dépenses de chauffage : le même compromis.
Les pièges qui coûtent des points
- Oublier les contraintes de sécurité, qui priment sur l'optimum économique.
- Ne pas ramener les coûts à la même période.
- Confondre section et diamètre.
Revoir les notions
Autres questions : concevoir et optimiser
- Quelle poutre rectangulaire faut-il découper dans un tronc pour qu'elle soit la plus résistante possible ?
- Pourquoi ne peut-on pas construire une maquette géante en multipliant simplement toutes ses dimensions ?
- Si dix pièces sont fabriquées chacune à 0,1 mm près, à quelle précision s'assemblent-elles ?
- Pour une poutre aussi rigide qu'une poutre en acier, quel matériau donne la plus légère : aluminium, bois ou carbone ?
Préparer l'oral, pas seulement le contenu
Gestion des 20 minutes de préparation, usage du tableau, posture debout, réponses au jury : la méthode complète, conforme aux règles de la session 2027.
Méthode : traiter une question de Grand oral →