Question transversaleMathsSIÉnergie et efficacité

Combien de temps et d'énergie faut-il pour chauffer l'eau d'un ballon d'eau chaude ?

Q: Calculez la température après 12 h avec τ = 4 jours.

$20+40e^(-0,125)≈20+35,3=55,3$ °C.

Chauffer 200 L d'eau de 15 à 60 °C demande m c ΔT = 200 × 4 180 × 45 ≈ 37,6 MJ, soit 10,45 kWh. Avec une résistance de 2,4 kW, il faut environ 4 h 20. C'est pourquoi le chauffe-eau chauffe la nuit, en heures creuses, et pourquoi son isolation compte.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Chez moi, le chauffe-eau se met en marche la nuit, et j'ai entendu dire qu'il représentait une part importante de la facture d'électricité. En sciences de l'ingénieur, nous avons fait le bilan énergétique d'un ballon d'eau chaude. J'ai voulu calculer l'énergie et le temps nécessaires pour le chauffer, puis l'effet de son isolation.

L'enjeu et les notions du programme

Effectuer un bilan d'énergie thermique par la proportionnalité et convertir les unités pour calculer un temps et un coût.

Mathématiques

Proportionnalité, produits de facteurs (seconde)
Conversions d'unités : joules, kilowattheures, heures et minutes (seconde)
Fonction exponentielle : refroidissement du ballon (terminale)

Sciences de l'ingénieur

Énergie thermique, puissance, rendement (terminale)
Gestion de l'énergie : heures creuses, isolation (terminale)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Un ballon d'eau chaude chauffe un volume d'eau avec une résistance électrique, puis le garde au chaud. Problématique : quelle énergie faut-il pour le chauffer, combien de temps cela prend-il, et combien en perd-on ?
2. Mathématiques : un bilan d'énergie
4 min
L'énergie nécessaire pour élever la température d'une masse d'eau vaut $E = m c Δ T$ E=mcΔ T, avec $c = 4180$ c=4 180 J/(kg·°C). Pour 200 L (200 kg), de 15 à 60 °C : $E = 200 \times 4180 \times 45 \approx 3, 76 \times 1 0^{7}$ E=200×4 180×45≈3,76×10⁷ J.
En kilowattheures : $\frac{3 , 76 \times 1 0 ^{7}}{3 , 6 \times 1 0 ^{6}} \approx 10, 45$ 3,76×10⁷/3,6×10⁶≈10,45 kWh. Avec une résistance de 2,4 kW : $t = \frac{10 , 45}{2 , 4} \approx 4, 35$ t=10,45/2,4≈4,35 h, soit environ 4 h 21 min.
L'énergie est proportionnelle à la masse et à l'écart de température : régler le ballon à 55 °C au lieu de 60 °C économise $\frac{5}{45} \approx 11 %$ 5/45≈11 % de l'énergie de chauffe.
Pertes : un ballon perd de la chaleur vers la pièce. Si l'on coupe le chauffage, sa température tend vers celle de la pièce selon une exponentielle, $T (t) = T_{a} + (T_{0} - T_{a}) e^{- t / τ}$ T(t)=Tₐ+(T₀-Tₐ)e^(-t/τ), avec $τ$ τ de plusieurs jours pour un ballon bien isolé. Avec $τ = 4$ τ=4 jours, en 12 h, l'eau à 60 °C dans une pièce à 20 °C descend à environ 55 °C.
3. SI : piloter la chauffe
3 min
Le ballon chauffe la nuit, pendant les heures creuses où l'électricité est moins chère et le réseau moins sollicité : les 4 h 20 de chauffe tiennent dans une plage de 8 heures. Un thermostat coupe la résistance à la température de consigne.
Les chauffe-eau thermodynamiques utilisent une pompe à chaleur qui prélève de la chaleur dans l'air : pour 1 kWh d'électricité, ils fournissent environ 3 kWh de chaleur. La même eau chaude coûte alors trois fois moins d'électricité. Le choix d'un équipement se fait en comparant l'investissement aux économies sur plusieurs années.
4. Conclusion
1,5 min
Chauffer 200 L de 15 à 60 °C demande 10,45 kWh, soit 4 h 20 avec 2,4 kW. Le bilan $m c Δ T$ mcΔ T et des conversions d'unités suffisent ; l'exponentielle décrit les pertes. J'ouvre sur les pompes à chaleur, qui fournissent plus de chaleur qu'elles ne consomment d'électricité.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

E = m c Δ T = 200 \times 4180 \times 45 \approx 3, 76 \times 1 0^{7} J \approx 10, 45 kWh E=mcΔ T=200\times4 180\times45\approx3,76\times10⁷ J \approx10,45 kWh t = \frac{10 , 45}{2 , 4} \approx 4, 35 h \approx 4 h 21 min T (t) = T_{a} + (T_{0} - T_{a}) e^{- t / τ} t=10,45/2,4\approx4,35 h \approx4 h 21 min T(t)=Tₐ+(T₀-Tₐ)e^(-t/τ)

Conclusion : la réponse à la question

Un bilan d'énergie et une division donnent le temps de chauffe d'un ballon. Ces calculs simples guident des économies réelles : température de consigne, isolation, choix de l'équipement.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Convertissez 0,35 h en minutes.

0,35 × 60 = 21 minutes.

Quelle énergie pour chauffer 100 L de 15 à 60 °C ?

La moitié : environ 5,2 kWh.

Calculez la température après 12 h avec τ = 4 jours.

$20 + 40 e^{- 0, 125} \approx 20 + 35, 3 = 55, 3$ 20+40e^(-0,125)≈20+35,3=55,3 °C.

Que signifie c = 4 180 J/(kg·°C) ?

Il faut 4 180 J pour élever de 1 °C la température d'un kilogramme d'eau.

Pourquoi une pompe à chaleur consomme-t-elle moins ?

Elle déplace de la chaleur prise dans l'air au lieu de la produire par effet Joule.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre litres et kilogrammes pour un autre liquide que l'eau.
Confondre puissance (kW) et énergie (kWh).
Convertir 4,35 h en 4 h 35 min.

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