Pourquoi faut-il des ordinateurs pour reconstruire l'arbre du vivant ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En SVT, nous avons construit des arbres de parenté à partir de quelques espèces et d'un tableau de caractères. Avec trois ou quatre espèces, on peut essayer toutes les possibilités. Je me suis demandé combien d'arbres possibles il existe pour 20 ou 100 espèces. Le dénombrement montre une explosion combinatoire, qui explique le recours aux algorithmes.

L'enjeu et les notions du programme

Dénombrer des arbres par un raisonnement récursif et apprécier une croissance plus rapide qu'exponentielle.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Un arbre phylogénétique représente les relations de parenté entre espèces : chaque nœud est un ancêtre commun, qui se divise en deux lignées. Problématique : combien d'arbres différents peut-on construire pour $n$n espèces ?

2. 2. Mathématiques : un dénombrement récursif

   4 min

   Avec 2 espèces, un seul arbre enraciné. Pour ajouter une 3ᵉ espèce, on peut la greffer sur n'importe quelle branche de l'arbre précédent : un arbre enraciné à $k$k espèces a $2k-1$2k-1 branches (en comptant la branche qui mène à la racine). Donc $T(k+1)=(2k-1)T(k)$T(k+1)=(2k-1) T(k).

   D'où $T(n)=1\times 3\times 5\times \cdots \times (2n-3)$T(n)=1×3×5×…×(2n-3). $T(3)=3$T(3)=3, $T(4)=15$T(4)=15, $T(5)=105$T(5)=105, $T(10)=34459425$T(10)=34 459 425, $T(20)\approx 8,2\times 10^{21}$T(20)≈8,2×10²¹.

   Cette croissance est plus rapide qu'une exponentielle : chaque espèce ajoutée multiplie le nombre d'arbres par un facteur qui grandit lui-même. Même en testant un milliard d'arbres par seconde, il faudrait plus de 250 000 ans pour examiner tous les arbres de 20 espèces.

3. 3. SVT : choisir le meilleur arbre

   3 min

   Pour choisir parmi ces arbres, on utilise des critères : la parcimonie (l'arbre qui demande le moins de changements de caractères), ou des méthodes probabilistes (l'arbre qui rend les séquences observées les plus probables). Les tester tous est impossible : les logiciels construisent un bon arbre de départ, puis le modifient localement pour l'améliorer.

   C'est pourquoi les arbres du vivant sont des hypothèses, régulièrement révisées quand de nouvelles données arrivent. Ils sont néanmoins robustes pour les grands groupes, car de nombreuses données indépendantes concordent.

4. 4. Conclusion

   2 min

   Il faut des ordinateurs et des algorithmes pour reconstruire l'arbre du vivant, car le nombre d'arbres possibles, $1\times 3\times \cdots \times (2n-3)$1×3×…×(2n-3), explose : plus de $8\times 10^{21}$8×10²¹ pour 20 espèces. On ne cherche pas tous les arbres, mais le meilleur selon un critère. J'ouvre sur la méthode de parcimonie.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Croire que l'on peut tester tous les arbres.
• Confondre arbre phylogénétique et arbre généalogique.
• Présenter un arbre comme une vérité définitive.

Revoir les notions

• Combinatoire et dénombrement (Terminale spé maths) →
• Suites : récurrence et limites (Terminale spé maths) →

Autres questions : évolution et dérive génétique

• Pourquoi le hasard fait-il évoluer plus vite les petites populations ?
• Combien de générations faut-il pour qu'un allèle avantageux se répande dans une population ?
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