Question transversaleMathsSVTBiodiversité et échantillonnage

Comment comparer la richesse de deux milieux qu'on n'a pas échantillonnés autant ?

Q: Simplifiez le rapport de combinaisons pour une espèce à 2 individus.

$(C(198, 50))/(C(200, 50))=(198! 150!)/(148! 200!)=150×149/200×199$.

Le site A compte 20 espèces pour 200 individus, le site B 15 espèces pour 50 individus. Pour comparer à effort égal, on calcule combien d'espèces A aurait donné avec 50 individus tirés au hasard : E(S₅₀) = Σ[1 − C(N − Nᵢ, 50)/C(N, 50)] ≈ 13,9. Le site B est en fait plus riche.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Lors d'un projet en SVT, deux groupes ont inventorié les invertébrés de deux haies. L'un avait trouvé plus d'espèces, mais il avait aussi compté beaucoup plus d'individus. Le professeur nous a demandé si la comparaison était juste. J'ai découvert la méthode de raréfaction, qui utilise le dénombrement pour ramener les deux inventaires au même effort.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser les combinaisons pour calculer une probabilité d'absence dans un tirage sans remise, puis une espérance par linéarité, afin de comparer à effort égal.

Mathématiques

Combinaisons $(k n)$ binom nk, tirages sans remise (terminale)
Espérance, linéarité, variables indicatrices (terminale)
Événement contraire (première)

Sciences de la vie et de la Terre

Échantillonnage de la biodiversité (seconde)
Comparaison de milieux (seconde)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Plus on compte d'individus, plus on trouve d'espèces : la richesse observée dépend de l'effort d'échantillonnage. Site A : 200 individus, 20 espèces. Site B : 50 individus, 15 espèces. Problématique : quel site est le plus riche ?
2. Mathématiques : ramener à 50 individus
4 min
On imagine tirer au hasard, sans remise, 50 individus parmi les 200 du site A, et on compte les espèces obtenues. Une espèce représentée par $N_{i}$ Nᵢ individus est absente du sous-échantillon avec la probabilité $\frac{( 50 200 - N _{i} )}{( 50 200 )}$ (C(200-Nᵢ, 50))/(C(200, 50)) : on choisit les 50 individus parmi les autres.
Par exemple, une espèce à 2 individus est absente avec la probabilité $\frac{150 \times 149}{200 \times 199} \approx 0, 56$ 150×149/200×199≈0,56 ; une espèce à un individu, avec la probabilité 0,75.
Le nombre d'espèces observées est une somme de variables indicatrices (1 si l'espèce est présente, 0 sinon). Par linéarité de l'espérance : $E (S_{50}) = \sum_{i} [1 - \frac{( 50 200 - N _{i} )}{( 50 200 )}]$ E(S₅₀)=Σᵢ[1-(C(200-Nᵢ, 50))/(C(200, 50))]. Avec les effectifs relevés sur le site A (de 45 individus pour l'espèce la plus abondante à 1 pour les plus rares), on obtient environ 13,9 espèces. À effort égal, le site B, avec 15 espèces, est le plus riche, contrairement à l'impression première.
3. SVT : un enjeu de protocole
3 min
Les protocoles de terrain cherchent à standardiser l'effort : même surface, même durée, même nombre de pièges. Mais c'est rarement parfait, et le nombre d'individus capturés varie selon la météo ou la saison. La raréfaction corrige ces différences après coup.
Elle a des limites : elle ne peut que réduire le grand échantillon, jamais extrapoler le petit, et elle suppose que les individus sont répartis au hasard. C'est un outil standard en écologie, mais aussi pour comparer la diversité des microbiotes ou des séquences génétiques.
4. Conclusion
2 min
Pour comparer la richesse de deux milieux échantillonnés différemment, on ramène le plus grand échantillon à la taille du plus petit par raréfaction : un calcul de combinaisons et la linéarité de l'espérance montrent ici que le site qui paraissait le moins riche l'est le plus. J'ouvre sur les courbes de raréfaction, qui comparent des milieux à tous les niveaux d'effort.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

E (S_{n}) = i \sum [1 - \frac{( n N - N _{i} )}{( n N )}] E(Sₙ)=Σᵢ[1-(C(N-Nᵢ, n))/(C(N, n))] N_{i} = 2 : \frac{( 50 198 )}{( 50 200 )} = \frac{150 \times 149}{200 \times 199} \approx 0, 56 E (S_{50}) \approx 13, 9 < 15 Nᵢ=2: (C(198, 50))/(C(200, 50))=150\times149/200\times199\approx0,56 E(S₅₀)\approx13,9<15

Conclusion : la réponse à la question

La richesse observée dépend de l'effort d'échantillonnage : comparer des nombres bruts d'espèces peut tromper. La raréfaction, fondée sur les combinaisons et l'espérance, ramène les inventaires au même effort et permet une comparaison honnête.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Simplifiez le rapport de combinaisons pour une espèce à 2 individus.

$\frac{( 50 198 )}{( 50 200 )} = \frac{198 ! 150 !}{148 ! 200 !} = \frac{150 \times 149}{200 \times 199}$ (C(198, 50))/(C(200, 50))=(198! 150!)/(148! 200!)=150×149/200×199.

Pourquoi peut-on additionner les probabilités de présence ?

Par linéarité de l'espérance, valable même si les présences des différentes espèces ne sont pas indépendantes.

Pourquoi ne peut-on pas extrapoler le petit échantillon ?

On ne connaît pas les espèces qu'il n'a pas rencontrées ; il faudrait un estimateur comme celui de Chao.

Qu'est-ce qu'une variable indicatrice ?

Une variable qui vaut 1 si un événement est réalisé et 0 sinon ; son espérance est la probabilité de l'événement.

Pourquoi l'effort d'échantillonnage varie-t-il ?

Le nombre d'individus capturés dépend de la météo, de la saison, du temps passé et de la méthode.

Les pièges qui coûtent des points

Comparer les nombres d'espèces bruts sans tenir compte de l'effort.
Utiliser un tirage avec remise au lieu d'un tirage sans remise.
Croire que la raréfaction permet d'agrandir un petit échantillon.

Revoir les notions

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