Question transversaleMathsSVTBiodiversité et échantillonnage

Quelle est la probabilité que deux êtres vivants pris au hasard soient de la même espèce ?

Q: Pourquoi D est-il minimal quand les espèces sont équilibrées ?

Avec $Σ pᵢ=1$, on a $Σ pᵢ²=1/S+Σ(pᵢ-1/S)²≥1/S$, avec égalité si toutes les proportions valent $1/S$.

Q: Que change un tirage sans remise ?

Pour une petite population, on utilise $Σ(nᵢ(nᵢ-1))/(N(N-1))$, avec les effectifs $nᵢ$.

Q: Que vaut 1/D pour 10 espèces équilibrées ?

$D=10×0,01=0,1$, donc $1/D=10$.

Tirer deux individus au hasard (avec remise) : ils sont de la même espèce avec la probabilité D = Σ pᵢ². Pour 4 espèces équilibrées, D = 0,25 ; si l'une domine à 70 %, D = 0,52. L'indice de Simpson 1 − D (0,75 et 0,48) mesure la diversité, et 1/D un nombre effectif d'espèces.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

J'ai lu qu'en forêt tropicale, deux arbres voisins sont presque toujours d'espèces différentes, alors qu'en forêt tempérée on traverse des peuplements d'une seule espèce. Je me suis demandé comment chiffrer cette impression. Une simple question de probabilités, tirer deux individus au hasard, donne un indice de diversité très utilisé en écologie.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer la probabilité d'un événement par une somme sur une partition, et l'interpréter comme un indice de diversité.

Mathématiques

Probabilités, épreuves indépendantes, partition (première)
Formule des probabilités totales (première)
Sommes de carrés, minimum sous contrainte (approfondissement)

Sciences de la vie et de la Terre

Biodiversité spécifique (seconde)
Comparaison d'écosystèmes (seconde)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Dans un milieu, on choisit au hasard un premier individu, puis un second. Problématique : quelle est la probabilité qu'ils appartiennent à la même espèce, et que nous apprend-elle sur la biodiversité ?
2. Mathématiques : une probabilité de rencontre
4 min
Avec des proportions $p_{1}, \dots, p_{S}$ p₁,…,p_S, et un tirage avec remise (grande population), les deux individus sont tous les deux de l'espèce $i$ i avec la probabilité $p_{i}^{2}$ pᵢ². Ces événements forment une partition de « même espèce », donc $D = \sum_{i} p_{i}^{2}$ D=Σᵢpᵢ².
Exemples : 4 espèces équilibrées, $D = 4 \times 0, 2 5^{2} = 0, 25$ D=4×0,25²=0,25 ; proportions 0,7 ; 0,1 ; 0,1 ; 0,1 : $D = 0, 49 + 0, 03 = 0, 52$ D=0,49+0,03=0,52 ; une espèce à 97 % : $D \approx 0, 94$ D≈0,94.
L'indice de Simpson $1 - D$ 1-D est la probabilité que les deux individus soient d'espèces différentes : 0,75 ; 0,48 ; 0,06. Pour $S$ S espèces, $D$ D est minimal quand toutes ont la proportion $\frac{1}{S}$ 1/S, et vaut $\frac{1}{S}$ 1/S. D'où le nombre effectif d'espèces $\frac{1}{D}$ 1/D : 4 ; 1,9 ; 1,06.
Comparé à l'indice de Shannon, l'indice de Simpson donne plus de poids aux espèces abondantes : les espèces rares, au carré, pèsent très peu.
3. SVT : interpréter et comparer
3 min
Une forêt tropicale peut compter plusieurs centaines d'espèces d'arbres par hectare, avec très peu d'individus par espèce : $1 - D$ 1-D y est proche de 1. Une plantation monospécifique a $1 - D$ 1-D proche de 0.
L'indice de Simpson est robuste : il dépend peu des espèces rares, souvent manquées par l'échantillonnage. Il sert à suivre l'effet d'une perturbation, par exemple la dominance d'une espèce invasive qui fait chuter la diversité sans forcément réduire le nombre d'espèces présentes.
4. Conclusion
2 min
La probabilité que deux individus pris au hasard soient de la même espèce vaut la somme des carrés des proportions ; son complément, l'indice de Simpson, mesure la diversité, et son inverse un nombre effectif d'espèces. J'ouvre sur l'usage de cet indice en médecine, pour mesurer la diversité du microbiote intestinal.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

D = i \sum p_{i}^{2} Simpson = 1 - D nombre effectif = \frac{1}{D} D=Σᵢpᵢ² Simpson =1-D nombre effectif =1/D (0, 25 \times 4) : D = 0, 25 (0, 7; 0, 1; 0, 1; 0, 1) : D = 0, 52, 1 - D = 0, 48, \frac{1}{D} \approx 1, 9 (0,25\times4): D=0,25 (0,7;0,1;0,1;0,1): D=0,52, 1-D=0,48, 1/D\approx1,9

Conclusion : la réponse à la question

Une question de probabilités élémentaire fournit un indice de diversité : la probabilité que deux individus tirés au hasard soient de la même espèce. Plus elle est faible, plus le milieu est divers ; elle met l'accent sur les espèces dominantes.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi D est-il minimal quand les espèces sont équilibrées ?

Avec $\sum p_{i} = 1$ Σ pᵢ=1, on a $\sum p_{i}^{2} = \frac{1}{S} + \sum (p_{i} - \frac{1}{S})^{2} \geq \frac{1}{S}$ Σ pᵢ²=1/S+Σ(pᵢ-1/S)²≥1/S, avec égalité si toutes les proportions valent $\frac{1}{S}$ 1/S.

Que change un tirage sans remise ?

Pour une petite population, on utilise $\sum \frac{n _{i} ( n _{i} - 1 )}{N ( N - 1 )}$ Σ(nᵢ(nᵢ-1))/(N(N-1)), avec les effectifs $n_{i}$ nᵢ.

Quelle différence avec l'indice de Shannon ?

Simpson donne plus de poids aux espèces abondantes ; Shannon est plus sensible aux espèces rares.

Qu'est-ce qu'une espèce invasive ?

Une espèce introduite qui prolifère et perturbe l'écosystème qui l'accueille.

Que vaut 1/D pour 10 espèces équilibrées ?

$D = 10 \times 0, 01 = 0, 1$ D=10×0,01=0,1, donc $\frac{1}{D} = 10$ 1/D=10.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier les carrés et sommer les proportions.
Confondre D (même espèce) et 1 − D (espèces différentes).
Appliquer la formule avec remise à une très petite population.

Revoir les notions

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