Question transversaleMathsSVTBiodiversité et échantillonnage

Comment mesurer la biodiversité d'un milieu avec un seul nombre ?

L'indice de Shannon H = −Σ pᵢ ln pᵢ tient compte du nombre d'espèces et de leur équilibre : 4 espèces à parts égales donnent H = ln 4 ≈ 1,39, mais si l'une représente 70 % des individus, H ≈ 0,94. Son exponentielle, e^H ≈ 2,6, se lit comme un nombre « effectif » d'espèces.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Lors d'une sortie de terrain, nous avons comparé deux prairies qui avaient le même nombre d'espèces de plantes. Pourtant, l'une était dominée par une graminée, l'autre beaucoup plus variée. Je me suis demandé comment traduire cette impression par un nombre. L'indice de Shannon, issu de la théorie de l'information, utilise le logarithme pour mesurer à la fois richesse et équilibre.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser la fonction logarithme pour construire un indicateur, étudier sa valeur maximale et l'interpréter comme un nombre effectif d'espèces.

Mathématiques

Fonction logarithme népérien (terminale)
Fréquences, sommes (seconde)
Maximum d'une fonction, étude de x ↦ −x ln x (terminale)

Sciences de la vie et de la Terre

Biodiversité : diversité spécifique, richesse et abondance (seconde)
Échantillonnage d'un milieu, relevés de terrain (seconde)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
La biodiversité spécifique d'un milieu dépend du nombre d'espèces (la richesse) mais aussi de la répartition des individus entre elles (l'équitabilité). Problématique : comment résumer ces deux aspects par un seul nombre ?
2. Mathématiques : l'indice de Shannon
4 min
Si l'espèce $i$ i représente une proportion $p_{i}$ pᵢ des individus, l'indice de Shannon vaut $H = - \sum_{i} p_{i} ln p_{i}$ H=-Σᵢ pᵢln pᵢ. Chaque terme est positif car $ln p_{i} \leq 0$ ln pᵢ≤0.
Communauté A, 4 espèces à 25 % chacune : $H = - 4 \times 0, 25 ln 0, 25 = ln 4 \approx 1, 39$ H=-4×0,25ln0,25=ln4≈1,39. Communauté B, 4 espèces à 70 %, 10 %, 10 %, 10 % : $H = - (0, 7 ln 0, 7 + 3 \times 0, 1 ln 0, 1) \approx 0, 94$ H=-(0,7ln0,7+3×0,1ln0,1)≈0,94. Communauté C, une espèce à 97 % et trois à 1 % : $H \approx 0, 17$ H≈0,17. Même richesse, diversités très différentes.
Pour $S$ S espèces, $H$ H est maximal quand toutes sont également représentées, et vaut alors $ln S$ ln S. L'équitabilité $J = \frac{H}{l n S}$ J=H/(ln S) compare à ce maximum : $J \approx 0, 68$ J≈0,68 pour B. Enfin, $e^{H}$ e^(H) donne un « nombre effectif d'espèces » : 4 pour A, environ 2,6 pour B, 1,2 pour C. La communauté B est aussi diverse que 2,6 espèces parfaitement équilibrées.
3. SVT : utiliser l'indice sur le terrain
3 min
On calcule l'indice à partir de relevés : on compte les individus de chaque espèce sur des surfaces échantillonnées. Il permet de comparer des milieux (prairie fauchée ou pâturée, forêt exploitée ou non) ou de suivre un milieu dans le temps, par exemple après une pollution qui favorise quelques espèces tolérantes.
Il a des limites : il dépend de l'effort d'échantillonnage, ignore l'identité des espèces (une espèce rare menacée pèse autant qu'une espèce banale) et ne dit rien de la diversité génétique ou des écosystèmes. C'est un outil parmi d'autres.
4. Conclusion
2 min
L'indice de Shannon mesure la biodiversité en combinant richesse et équilibre grâce au logarithme : il est maximal quand les espèces sont également représentées, et son exponentielle se lit comme un nombre effectif d'espèces. J'ouvre sur l'indice de Simpson, qui mesure la diversité par une probabilité.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

H = - i \sum p_{i} ln p_{i} H_{max} = ln S J = \frac{H}{ln S} H=-Σᵢ pᵢln pᵢ H_ max =ln S J=H/(ln S) (0, 25; 0, 25; 0, 25; 0, 25) : H = ln 4 \approx 1, 39 (0, 7; 0, 1; 0, 1; 0, 1) : H \approx 0, 94, e^{H} \approx 2, 6 (0,25;0,25;0,25;0,25): H=ln4\approx1,39 (0,7;0,1;0,1;0,1): H\approx0,94, e^(H)\approx2,6

Conclusion : la réponse à la question

Un seul nombre peut résumer la diversité d'un milieu à condition de combiner richesse et équitabilité : l'indice de Shannon le fait grâce au logarithme. Il permet de comparer des milieux, avec les limites de tout indicateur résumé.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi chaque terme −pᵢ ln pᵢ est-il positif ?

Car $0 < p_{i} \leq 1$ 0<pᵢ≤1, donc $ln p_{i} \leq 0$ ln pᵢ≤0.

Que vaut H pour une seule espèce ?

$H = - 1 \times ln 1 = 0$ H=-1×ln1=0 : aucune diversité.

Pourquoi e^H est-il un nombre effectif d'espèces ?

Pour $S$ S espèces équilibrées, $H = ln S$ H=ln S, donc $e^{H} = S$ e^(H)=S : on retrouve le nombre d'espèces.

Pourquoi l'indice dépend-il de l'effort d'échantillonnage ?

Plus on échantillonne, plus on trouve d'espèces rares, ce qui modifie les proportions et l'indice.

Quelles sont les trois échelles de la biodiversité ?

La diversité génétique, la diversité des espèces et la diversité des écosystèmes.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre richesse spécifique et diversité.
Oublier le signe moins dans la formule.
Comparer des indices calculés avec des efforts d'échantillonnage différents.

Revoir les notions

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