Question transversaleMathsSVTBiodiversité et échantillonnage

Combien de visites faut-il pour être sûr qu'une espèce rare est absente ?

Q: Pourquoi divise-t-on par ln(1 − p), et que devient l'inégalité ?

$ln(1-p)<0$ : diviser par un nombre négatif change le sens de l'inégalité.

Q: Quelle hypothèse forte faites-vous ?

L'indépendance des visites et une probabilité de détection constante.

Q: Comment intervient la formule de Bayes ?

$P( présente | jamais vue )=(π(1-p)ⁿ)/(π(1-p)ⁿ+1-π)$, où $π$ est la probabilité de présence a priori.

Q: Pourquoi les inventaires se font-ils à certaines saisons ?

Les espèces sont plus détectables à certaines périodes (reproduction, floraison, chant).

Si une espèce présente est détectée avec la probabilité p à chaque visite, la probabilité de la manquer n fois de suite est (1 − p)ⁿ. Pour p = 0,3, il faut 9 visites pour la détecter avec 95 % de chances ; pour p = 0,1, 29 visites. Ne pas voir n'est pas prouver l'absence.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Un naturaliste m'a raconté qu'il avait cherché une espèce de grenouille dans une mare pendant des années avant de la trouver. Je me suis demandé combien de visites il faut pour conclure qu'une espèce est absente. Les probabilités donnent une réponse claire, et elle a des conséquences concrètes, par exemple avant d'autoriser des travaux sur un site.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer la probabilité d'au moins un succès sur n épreuves indépendantes, résoudre une inéquation avec le logarithme et discuter la preuve d'absence.

Mathématiques

Épreuves indépendantes, événement contraire (première)
Loi géométrique, loi binomiale (première, terminale)
Résolution de $q^{n} \leq α$ qⁿ≤α avec le logarithme (terminale)

Sciences de la vie et de la Terre

Inventaires naturalistes, protection des espèces (seconde)
Biodiversité et aménagement du territoire (seconde, terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Avant un aménagement, une étude d'impact doit dire si des espèces protégées sont présentes. Une espèce discrète peut être présente sans être vue. Problématique : combien de visites faut-il pour conclure, avec une confiance raisonnable, qu'elle est absente ?
2. Mathématiques : manquer n fois de suite
4 min
On suppose l'espèce présente et détectée avec la probabilité $p$ p à chaque visite, de façon indépendante. La probabilité de ne jamais la voir en $n$ n visites vaut $(1 - p)^{n}$ (1-p)ⁿ, et celle de la voir au moins une fois $1 - (1 - p)^{n}$ 1-(1-p)ⁿ.
Avec $p = 0, 3$ p=0,3 et 5 visites : $1 - 0, 7^{5} \approx 0, 83$ 1-0,7⁵≈0,83. Pour atteindre 95 %, il faut $0, 7^{n} \leq 0, 05$ 0,7ⁿ≤0,05, soit $n \geq \frac{l n 0 , 05}{l n 0 , 7} \approx 8, 4$ n≥ln0,05/ln0,7≈8,4 : 9 visites. Avec $p = 0, 5$ p=0,5 : 5 visites ; avec $p = 0, 1$ p=0,1 : 29 visites.
Le nombre de visites jusqu'à la première détection suit une loi géométrique d'espérance $\frac{1}{p}$ 1/p. Enfin, après $n$ n visites sans détection, on peut calculer avec la formule de Bayes la probabilité que l'espèce soit malgré tout présente : elle dépend de la probabilité de présence estimée au départ.
3. SVT : de meilleures méthodes de détection
3 min
La probabilité de détection dépend de l'espèce (discrète ou non), de la saison, de l'heure, de la météo et de la méthode : chant des oiseaux au printemps, écoute nocturne des amphibiens, pièges photographiques. Les protocoles fixent un nombre minimal de passages adaptés à chaque groupe.
L'ADN environnemental augmente fortement $p$ p pour certaines espèces aquatiques : un prélèvement d'eau suffit parfois à détecter un amphibien difficile à observer. Mieux détecter réduit le nombre de visites et le risque de conclure à tort à une absence.
4. Conclusion
2 min
Il faut d'autant plus de visites que l'espèce est difficile à détecter : 9 pour une probabilité de 0,3 par visite, 29 pour 0,1, afin d'atteindre 95 % de chances de la voir. Une absence d'observation n'est donc pas une preuve d'absence. J'ouvre sur l'ADN environnemental, qui change la donne pour les espèces discrètes.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

P (jamais vue en n visites) = (1 - p)^{n} P( jamais vue en n visites )=(1-p)ⁿ (1 - p)^{n} \leq 0, 05 ⟺ n \geq \frac{ln 0 , 05}{ln ( 1 - p )} : p = 0, 3 \to 9 p = 0, 1 \to 29 p = 0, 5 \to 5 (1-p)ⁿ\leq0,05\Leftrightarrow n\geqln0,05/(ln(1-p)): p=0,3\to9 p=0,1\to29 p=0,5\to5

Conclusion : la réponse à la question

La probabilité de manquer une espèce présente décroît géométriquement avec le nombre de visites : on peut ainsi dimensionner un inventaire. Mais pour une espèce discrète, il faut beaucoup de visites, et ne pas voir une espèce ne prouve pas son absence.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi divise-t-on par ln(1 − p), et que devient l'inégalité ?

$ln (1 - p) < 0$ ln(1-p)<0 : diviser par un nombre négatif change le sens de l'inégalité.

Quelle hypothèse forte faites-vous ?

L'indépendance des visites et une probabilité de détection constante.

Quelle est l'espérance du nombre de visites avant la première détection pour p = 0,3 ?

$\frac{1}{0 , 3} \approx 3, 3$ 1/0,3≈3,3 visites.

Comment intervient la formule de Bayes ?

$P (pr \overset{e}{ˊ} sente ∣ jamais vue) = \frac{π ( 1 - p ) ^{n}}{π ( 1 - p ) ^{n} + 1 - π}$ P( présente | jamais vue )=(π(1-p)ⁿ)/(π(1-p)ⁿ+1-π), où $π$ π est la probabilité de présence a priori.

Pourquoi les inventaires se font-ils à certaines saisons ?

Les espèces sont plus détectables à certaines périodes (reproduction, floraison, chant).

Les pièges qui coûtent des points

Conclure à l'absence après quelques visites infructueuses.
Oublier de changer le sens de l'inégalité avec le logarithme.
Supposer une probabilité de détection identique pour toutes les espèces.

Revoir les notions

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