Question transversaleMathsSVTÉvolution et dérive génétique

Combien avons-nous d'ancêtres, et pourquoi partageons-nous tous des ancêtres récents ?

Q: Calculez 2⁴⁰ approximativement.

$2¹⁰≈10³$, donc $2⁴⁰≈10¹²$.

Q: Quelle part de l'ADN vient en moyenne d'un ancêtre de la 10ᵉ génération ?

$1/2¹⁰≈0,1$ %, en moyenne.

Chacun a 2ⁿ ancêtres à la n-ième génération : 2³⁰ ≈ 10⁹ il y a environ 750 ans, 2⁴⁰ ≈ 10¹² il y a 1 000 ans, bien plus que la population de l'époque. Ces ancêtres sont donc forcément les mêmes personnes, comptées plusieurs fois : tous les humains partagent des ancêtres communs relativement récents.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En faisant un arbre généalogique, j'ai compté 2 parents, 4 grands-parents, 8 arrière-grands-parents… et je me suis demandé où cela menait. En remontant quelques siècles, le nombre d'ancêtres dépasse la population mondiale de l'époque ! Ce paradoxe s'explique par les ancêtres communs, et il a des conséquences étonnantes sur notre parenté avec tous les humains.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser une suite géométrique et des ordres de grandeur pour mettre en évidence une contradiction, et en tirer une conclusion sur la structure des généalogies.

Mathématiques

Suites géométriques, puissances de 2 (première)
Ordres de grandeur, $2^{10} \approx 1 0^{3}$ 2¹⁰≈10³ (seconde)
Raisonnement par l'absurde (cycle terminal)

Sciences de la vie et de la Terre

Transmission des gènes, généalogie (terminale)
Histoire des populations humaines, ancêtres communs (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Chacun de nous a 2 parents, 4 grands-parents, 8 arrière-grands-parents. Problématique : combien d'ancêtres avons-nous il y a mille ans, et ce nombre est-il possible ?
2. Mathématiques : une suite géométrique et une contradiction
3,5 min
À la $n$ n-ième génération en remontant, on compte $2^{n}$ 2ⁿ « places » d'ancêtres : suite géométrique de raison 2. Avec environ 25 ans par génération, 30 générations font 750 ans : $2^{30} = 1073741824 \approx 1 0^{9}$ 2³⁰=1 073 741 824≈10⁹ places. 40 générations, 1 000 ans : $2^{40} \approx 1 0^{12}$ 2⁴⁰≈10¹², mille milliards.
Or la population mondiale vers l'an 1000 était de l'ordre de 300 millions. Contradiction : les places ne peuvent pas être occupées par des personnes toutes différentes. Donc de nombreuses places sont occupées par les mêmes personnes : nos ancêtres apparaissent plusieurs fois dans notre arbre (implexe), parce que nos ascendants se sont unis entre cousins plus ou moins éloignés.
3. SVT : des ancêtres communs à tous
3,5 min
Si l'on remonte assez loin, chaque personne de l'époque qui a une descendance actuelle est un ancêtre de presque tout le monde : les arbres généalogiques se recouvrent. Des modèles mathématiques et des simulations suggèrent que le plus récent ancêtre commun de tous les humains actuels aurait vécu il y a seulement quelques milliers d'années, et qu'un peu plus loin, chaque personne avec des descendants serait l'ancêtre de tous.
Attention : être un ancêtre généalogique ne signifie pas transmettre de l'ADN. Au-delà d'une dizaine de générations, beaucoup d'ancêtres ne nous ont transmis aucun segment d'ADN, à cause du brassage. La parenté généalogique et la parenté génétique ne coïncident pas.
4. Conclusion
2 min
Le nombre de places d'ancêtres double à chaque génération et dépasse vite la population de l'époque : nos ancêtres sont donc largement partagés, et tous les humains ont des ancêtres communs récents. La suite géométrique, confrontée aux données démographiques, révèle cette structure. J'ouvre sur la différence entre ancêtres généalogiques et ancêtres génétiques.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

places d’anc \overset{e}{ˆ} tres \overset{a}{ˋ} la g \overset{e}{ˊ} n \overset{e}{ˊ} ration n : 2^{n} places d'ancêtres à la génération n: 2ⁿ 2^{30} \approx 1, 07 \times 1 0^{9} (\approx 750 ans) 2^{40} \approx 1, 1 \times 1 0^{12} (\approx 1000 ans) 2³⁰\approx1,07\times10⁹ (\approx750 ans ) 2⁴⁰\approx1,1\times10¹² (\approx1 000 ans ) 2^{40} ≫ 3 \times 1 0^{8} (population vers l’an 1000) 2⁴⁰gg3\times10⁸ ( population vers l'an 1000 )

Conclusion : la réponse à la question

Nos ancêtres sont bien moins nombreux que les $2^{n}$ 2ⁿ places de notre arbre : les mêmes personnes y apparaissent de nombreuses fois. Cette contradiction, révélée par une suite géométrique, montre que tous les humains partagent des ancêtres communs relativement récents.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Calculez 2⁴⁰ approximativement.

$2^{10} \approx 1 0^{3}$ 2¹⁰≈10³, donc $2^{40} \approx 1 0^{12}$ 2⁴⁰≈10¹².

Qu'est-ce que l'implexe ?

Le fait qu'un même ancêtre apparaisse plusieurs fois dans un arbre généalogique.

Pourquoi un ancêtre peut-il ne transmettre aucun ADN ?

À chaque génération, on ne reçoit que la moitié de l'ADN de chaque parent ; au-delà d'une dizaine de générations, certains ancêtres ne sont plus représentés.

Quelle part de l'ADN vient en moyenne d'un ancêtre de la 10ᵉ génération ?

$\frac{1}{2 ^{10}} \approx 0, 1$ 1/2¹⁰≈0,1 %, en moyenne.

Ce raisonnement est-il un raisonnement par l'absurde ?

Oui : supposer des ancêtres tous différents mène à une contradiction avec la population de l'époque.

Les pièges qui coûtent des points

Croire que l'on a réellement 2ⁿ ancêtres différents.
Confondre ancêtre généalogique et ancêtre génétique.
Oublier de convertir les générations en années.

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