Pourquoi certaines introductions d'un virus s'éteignent-elles d'elles-mêmes alors que d'autres déclenchent une épidémie ?
Avec un même R moyen de 2, une maladie où chacun contamine exactement 2 personnes se propage toujours, alors qu'une maladie où 80 % des malades ne contaminent personne et 20 % en contaminent 10 voit 80 % des introductions s'éteindre dès le premier cas. La dispersion compte autant que la moyenne.
Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.
Pourquoi cette question : un modèle d'introduction
Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.
Pendant la pandémie, on a parlé de « superpropagateurs » : quelques personnes ont contaminé des dizaines d'autres lors d'un même événement, alors que la plupart des malades n'ont contaminé personne. Je me suis demandé ce que cela change, puisque la moyenne R est la même. En étudiant les probabilités, j'ai compris que la répartition autour de la moyenne change le destin des premiers cas.
L'enjeu et les notions du programme
Comparer deux lois de même espérance mais de dispersions différentes, et calculer des probabilités d'extinction précoce.
Mathématiques
- Variable aléatoire, espérance, variance (première, terminale)
- Probabilités d'événements successifs indépendants (première)
Sciences de la vie et de la Terre
- Transmission des maladies infectieuses (première)
- Santé publique, mesures ciblées (première)
Le plan de l'exposé en 10 min
1. Introduction
1 minDeux maladies ont le même nombre de reproduction moyen R=2. Dans la première, chaque malade contamine exactement 2 personnes. Dans la seconde, 80 % des malades ne contaminent personne et 20 % en contaminent 10. Problématique : leurs débuts d'épidémie sont-ils identiques ?
2. Mathématiques : même espérance, dispersion différente
4 minNombre de personnes contaminées par un malade : loi X₁=2 (certaine) et loi X₂ qui vaut 0 avec la probabilité 0,8 et 10 avec la probabilité 0,2. Espérances : E(X₁)=2, E(X₂)=0,2×10=2. Variances : V(X₁)=0, V(X₂)=0,2×100-4=16.
Introduction d'un seul cas. Maladie 1 : la chaîne ne s'éteint jamais. Maladie 2 : avec la probabilité 0,8, le premier malade ne contamine personne et la chaîne s'arrête aussitôt. Si plusieurs cas indépendants arrivent, par exemple 3, la probabilité que les trois chaînes s'éteignent immédiatement vaut 0,8³≈0,51.
Mais quand une chaîne démarre, elle démarre fort : un superpropagateur produit 10 cas d'un coup. L'épidémie est plus imprévisible : souvent rien, parfois une explosion.
3. SVT : cibler les situations à risque
3 minPour plusieurs maladies (SARS, Covid-19, rougeole), les études estiment qu'une petite fraction des malades cause la majorité des contaminations. Les superpropagations surviennent dans des situations particulières : lieux clos, mal ventilés, rassemblements, contacts prolongés.
Conséquence pour la prévention : cibler ces situations (limiter les grands rassemblements en intérieur, aérer) peut réduire fortement la transmission, plus efficacement qu'une mesure uniforme. Le traçage « à rebours » (rechercher qui a contaminé un malade) est particulièrement utile, car il remonte vers d'éventuels superpropagateurs.
4. Conclusion
2 minDeux maladies de même R moyen peuvent se comporter très différemment : quand la transmission est concentrée sur quelques superpropagateurs, la plupart des introductions s'éteignent seules, mais certaines explosent. La variance d'une loi compte autant que son espérance. J'ouvre sur le traçage à rebours des contacts.
Ce que j'écris au tableau
Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.
P( extinction immédiate )=0,8 ( maladie 2 ), 0 ( maladie 1 ) 3 introductions : 0,8³≈0,51
Conclusion : la réponse à la question
La moyenne R ne suffit pas à décrire une épidémie : la dispersion du nombre de contaminations par malade détermine la probabilité que les premières chaînes s'éteignent. Une transmission concentrée sur quelques superpropagateurs rend les épidémies plus rares mais plus explosives.
Les questions probables du jury
Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.
Calculez la variance de X₂.
E(X₂²)=0,2×100=20, V=20-2²=16.
Qu'est-ce qu'un superpropagateur ?
Un malade qui contamine un nombre de personnes bien supérieur à la moyenne, souvent dans une situation favorable à la transmission.
Qu'est-ce que le traçage à rebours ?
Rechercher la personne qui a contaminé un malade, puis les autres personnes qu'elle a pu contaminer.
Avec 10 introductions indépendantes, quelle probabilité qu'aucune ne démarre ?
0,8¹⁰≈0,11.
Pourquoi les lieux clos favorisent-ils les superpropagations ?
Les aérosols s'y accumulent et de nombreuses personnes sont exposées en même temps.
Les pièges qui coûtent des points
- Croire que la moyenne R résume toute la dynamique.
- Confondre variance et espérance.
- Oublier l'indépendance des introductions.
Revoir les notions
Autres questions : épidémies et immunité
- Que mesure le nombre de reproduction R₀ d'une maladie, et pourquoi le seuil de 1 est-il décisif ?
- Quelle proportion de la population faut-il vacciner pour protéger aussi ceux qui ne le sont pas ?
- Pourquoi une épidémie atteint-elle un pic puis décline-t-elle, avant même que tout le monde soit infecté ?
- Quelle proportion de la population une épidémie finit-elle par toucher ?
Préparer l'oral, pas seulement le contenu
Gestion des 20 minutes de préparation, usage du tableau, posture debout, réponses au jury : la méthode complète, conforme aux règles de la session 2027.
Méthode : traiter une question de Grand oral →