$2^(3,33)≈10$, car $2¹⁰≈10³$.

Question transversaleMathsSVTÉpidémies et immunité

Pourquoi « le nombre de cas double tous les trois jours » est-il une information si alarmante ?

Q: Pourquoi une droite en échelle logarithmique ?

$ln N(t)=ln N₀+rt$ est une fonction affine du temps.

Un doublement tous les 3 jours correspond à N(t) = N₀·2^(t/3), soit un taux de croissance de ln 2/3 ≈ 23 % par jour : 100 cas deviennent 1 000 en 10 jours, 100 000 en un mois. Allonger le temps de doublement à 6 jours divise par 32 le nombre de cas au bout d'un mois.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Au début de la pandémie, les journaux titraient que le nombre de cas doublait tous les trois jours. Cela semblait abstrait, jusqu'à ce que je fasse le calcul : en un mois, cent cas deviennent cent mille. J'ai voulu comprendre le lien entre temps de doublement et taux de croissance, et pourquoi gagner quelques jours sur ce temps change radicalement la situation.

L'enjeu et les notions du programme

Relier temps de doublement et taux de croissance exponentiel par le logarithme, et comparer des scénarios.

Mathématiques

Fonctions $t \mapsto a^{t}$ t↦ a^(t), exponentielle (première, terminale)
Logarithme, temps de doublement (terminale)
Échelle logarithmique (terminale)

Sciences de la vie et de la Terre

Épidémies, phase de croissance (première)
Santé publique et capacités hospitalières (première)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Une épidémie compte 100 cas, et ce nombre double tous les 3 jours. Problématique : combien de cas dans un mois, et que gagne-t-on à ralentir ce doublement ?
2. Mathématiques : doublement et taux
4 min
Si le nombre double tous les $T_{d} = 3$ T_d=3 jours : $N (t) = N_{0} 2^{t /3}$ N(t)=N₀ 2^(t/3). Après 10 jours : $100 \times 2^{10/3} \approx 1000$ 100×2^(10/3)≈1 000 ; après 30 jours : $100 \times 2^{10} = 102400$ 100×2¹⁰=102 400.
Écrite avec l'exponentielle : $N (t) = N_{0} e^{r t}$ N(t)=N₀e^(rt), avec $r = \frac{l n 2}{T _{d}} \approx 0, 23$ r=ln2/T_d≈0,23 par jour, soit environ 23 % de hausse quotidienne en temps continu. Inversement, $T_{d} = \frac{l n 2}{r}$ T_d=ln2/r : c'est la « règle de 70 » ( $T_{d} \approx \frac{70}{r %}$ T_d≈70/(r %)).
Si des mesures portent le temps de doublement à 6 jours, on obtient au bout d'un mois $100 \times 2^{5} = 3200$ 100×2⁵=3 200 cas au lieu de 102 400 : 32 fois moins. Le nombre de cas dépend exponentiellement de l'inverse du temps de doublement : gagner quelques jours sur $T_{d}$ T_d change tout.
3. SVT : pourquoi agir tôt
3 min
En phase exponentielle, chaque jour de retard compte : agir trois jours plus tard, c'est faire face à deux fois plus de cas. C'est pourquoi les épidémiologistes recommandent d'intervenir tôt, quand les chiffres paraissent encore faibles.
Sur un graphique en échelle logarithmique, une croissance à temps de doublement constant est une droite : un ralentissement se voit immédiatement par une diminution de la pente. Les autorités ont suivi ces courbes pour juger de l'effet des mesures.
4. Conclusion
2 min
Un doublement tous les trois jours est alarmant parce qu'il multiplie le nombre de cas par mille en un mois ; le taux de croissance, $\frac{l n 2}{T _{d}}$ (ln 2)/T_d, relie les deux notions. Doubler le temps de doublement divise ici par 32 le nombre de cas au bout d'un mois. J'ouvre sur la lecture des courbes en échelle logarithmique.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

N (t) = N_{0} 2^{t / T_{d}} = N_{0} e^{r t}, r = \frac{ln 2}{T _{d}} N(t)=N₀ 2^(t/T_d)=N₀ e^(rt), r=ln2/T_d T_{d} = 3 : 100 \times 2^{10} = 102400 cas en 30 jours T_{d} = 6 : 100 \times 2^{5} = 3200 T_d=3: 100\times2¹⁰=102 400 cas en 30 jours T_d=6: 100\times2⁵=3 200

Conclusion : la réponse à la question

Le temps de doublement et le taux de croissance sont liés par $r = \frac{l n 2}{T _{d}}$ r=ln2/T_d. Un doublement en trois jours multiplie les cas par mille en un mois ; ralentir ce doublement, même de quelques jours, réduit considérablement l'ampleur de l'épidémie.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Calculez 2^(10/3).

$2^{3, 33} \approx 10$ 2^(3,33)≈10, car $2^{10} \approx 1 0^{3}$ 2¹⁰≈10³.

Quel temps de doublement pour une croissance de 10 % par jour ?

$\frac{l n 2}{l n 1 , 1} \approx 7, 3$ ln2/ln1,1≈7,3 jours.

Pourquoi une droite en échelle logarithmique ?

$ln N (t) = ln N_{0} + r t$ ln N(t)=ln N₀+rt est une fonction affine du temps.

La croissance exponentielle dure-t-elle indéfiniment ?

Non : l'immunité, les comportements et les mesures la ralentissent.

Pourquoi agir tôt ?

En phase exponentielle, chaque temps de doublement de retard double le nombre de cas à gérer.

Les pièges qui coûtent des points

Croire que la croissance est linéaire.
Confondre taux par jour et temps de doublement.
Attendre que les chiffres soient élevés pour réagir.

Revoir les notions

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