Question transversaleMathsSVTÉpidémies et immunité

Comment dépister une population entière en économisant des tests ?

Q: Que devient T(k) si la prévalence est de 10 % ?

$T(k)=1/k+1-0,9^(k)$ ; pour $k=4$, $≈0,59$ : le gain n'est plus que de 40 %.

Q: Pourquoi l'indépendance des personnes est-elle nécessaire ?

Pour écrire $P( aucun malade )=0,99^(k)$ ; dans une même famille, les infections sont liées.

Q: Pourquoi ne pas faire des groupes de 100 ?

$1-0,99¹⁰⁰≈0,63$ : le groupe serait souvent positif et il faudrait retester presque tout le monde.

On mélange les prélèvements de k personnes : si le mélange est négatif, un seul test suffit ; sinon, on teste chacun. Avec une prévalence de 1 %, le nombre moyen de tests par personne vaut 1/k + 1 − 0,99ᵏ, minimal vers k = 10 ou 11, avec environ 0,196 test par personne : cinq fois moins.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Pendant la pandémie, certains laboratoires ont analysé des prélèvements « en pool » pour gagner du temps. L'idée remonte à la Seconde Guerre mondiale, quand l'économiste Robert Dorfman l'a proposée pour dépister la syphilis chez les soldats. Je voulais comprendre combien de tests on économise et quelle taille de groupe choisir : c'est un problème d'espérance et d'optimisation.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer l'espérance du nombre de tests selon la taille du groupe et chercher la taille optimale.

Mathématiques

Espérance d'une variable aléatoire (première)
Événement contraire, indépendance (première)
Optimisation d'une fonction, tableau de valeurs (première)

Sciences de la vie et de la Terre

Dépistage, tests diagnostiques (première)
Santé publique, prévalence (première)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
On veut dépister une maladie touchant 1 % d'une population. Tester chacun coûte un test par personne. Problématique : en regroupant les prélèvements par groupes de $k$ k, combien de tests économise-t-on en moyenne ?
2. Mathématiques : l'espérance du nombre de tests
4 min
Pour un groupe de $k$ k personnes, on fait d'abord un test du mélange. Il est négatif si personne n'est malade, avec la probabilité $0, 9 9^{k}$ 0,99^(k) (indépendance) : un seul test. Sinon, on teste les $k$ k personnes : $1 + k$ 1+k tests.
Espérance par groupe : $1 \times 0, 9 9^{k} + (1 + k) (1 - 0, 9 9^{k}) = 1 + k (1 - 0, 9 9^{k})$ 1×0,99^(k)+(1+k)(1-0,99^(k))=1+k(1-0,99^(k)). Par personne : $T (k) = \frac{1}{k} + 1 - 0, 9 9^{k}$ T(k)=1/k+1-0,99^(k).
$T (5) \approx 0, 249$ T(5)≈0,249, $T (10) \approx 0, 196$ T(10)≈0,196, $T (11) \approx 0, 196$ T(11)≈0,196, $T (15) \approx 0, 207$ T(15)≈0,207, $T (20) \approx 0, 232$ T(20)≈0,232. Le minimum est atteint vers $k = 10$ k=10 ou 11, avec environ 0,196 test par personne : cinq fois moins de tests. Trop petits, les groupes économisent peu ; trop grands, ils sont trop souvent positifs.
3. SVT : conditions d'utilisation
3 min
La méthode est très efficace quand la prévalence est faible. Si la maladie touche 10 % de la population, les groupes sont souvent positifs et le gain devient faible ; au-delà d'environ 30 %, le regroupement n'est plus intéressant.
Elle suppose que le mélange ne dilue pas trop le signal : un test trop peu sensible pourrait manquer un malade dans un groupe. Les laboratoires limitent donc la taille des groupes selon la sensibilité de leurs tests. Elle est utilisée pour le dépistage des dons de sang et a été employée pendant la pandémie.
4. Conclusion
2 min
En regroupant les prélèvements, on économise des tests : avec une prévalence de 1 %, des groupes d'une dizaine de personnes divisent le nombre de tests par cinq. Le calcul de l'espérance et l'optimisation de la taille du groupe guident la méthode. J'ouvre sur ses limites quand la prévalence augmente.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

E (tests par groupe) = 0, 9 9^{k} \times 1 + (1 - 0, 9 9^{k}) (1 + k) = 1 + k (1 - 0, 9 9^{k}) E( tests par groupe )=0,99^(k)\times1+(1-0,99^(k))(1+k)=1+k(1-0,99^(k)) T (k) = \frac{1}{k} + 1 - 0, 9 9^{k} : T (5) \approx 0, 249, T (10) \approx 0, 196, T (20) \approx 0, 232 T(k)=1/k+1-0,99^(k): T(5)\approx0,249, T(10)\approx0,196, T(20)\approx0,232

Conclusion : la réponse à la question

Les tests groupés réduisent fortement le nombre de tests quand la prévalence est faible : le nombre moyen de tests par personne, $\frac{1}{k} + 1 - (1 - p)^{k}$ 1/k+1-(1-p)^(k), est minimal pour une taille de groupe intermédiaire, environ 10 pour 1 % de malades.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Que devient T(k) si la prévalence est de 10 % ?

$T (k) = \frac{1}{k} + 1 - 0, 9^{k}$ T(k)=1/k+1-0,9^(k) ; pour $k = 4$ k=4, $\approx 0, 59$ ≈0,59 : le gain n'est plus que de 40 %.

Pourquoi l'indépendance des personnes est-elle nécessaire ?

Pour écrire $P (aucun malade) = 0, 9 9^{k}$ P( aucun malade )=0,99^(k) ; dans une même famille, les infections sont liées.

Qu'est-ce que la prévalence ?

La proportion de personnes atteintes dans une population à un moment donné.

Pourquoi ne pas faire des groupes de 100 ?

$1 - 0, 9 9^{100} \approx 0, 63$ 1-0,99¹⁰⁰≈0,63 : le groupe serait souvent positif et il faudrait retester presque tout le monde.

Quelle limite technique existe ?

La dilution : un test peu sensible peut ne pas détecter un seul positif dans un grand mélange.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier le test initial du mélange.
Utiliser la méthode quand la prévalence est forte.
Ignorer la perte de sensibilité par dilution.

Revoir les notions

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