Quand a-t-on égalité dans $√(ab)≤(a+b)/2$ ?

Si et seulement si $a=b$ : $(a+b)/2-√(ab)=(( √a - √b )²)/2$.

Étudiez la convexité de $x↦ x³-3x$.

$f''(x)=6x$ : concave sur $]-∞;0]$, convexe sur $[0;+∞[$, point d'inflexion en 0.

Question de mathsMathsDérivation et optimisation

À quoi sert la convexité d'une fonction ?

Q: Démontrez qu'une fonction convexe est au-dessus de ses tangentes.

On pose $g(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)$. Alors $g'(x)=f'(x)-f'(a)$, négatif pour $x a$ car $f'$ est croissante. Donc $g$ a un minimum en $a$, où elle vaut 0 : $g≥0$.

Une fonction convexe est au-dessus de ses tangentes et sous ses cordes : on en déduit en une ligne eˣ ≥ 1 + x, ln x ≤ x − 1, ou l'inégalité (a + b)/2 ≥ √(ab) grâce à la concavité du logarithme.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Quand la convexité est apparue en terminale, elle m'a semblé être une simple description de la forme d'une courbe. Puis j'ai découvert qu'elle permet de démontrer des inégalités célèbres en quelques lignes, là où une étude de fonction est plus longue. J'ai voulu montrer cette efficacité.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser la convexité comme outil de démonstration : position par rapport aux tangentes et aux cordes, et inégalités qui en découlent.

Mathématiques

Fonction convexe, concave ; dérivée seconde (terminale)
Position de la courbe par rapport à ses tangentes et à ses cordes (terminale)
Point d'inflexion (terminale)
Fonctions exponentielle et logarithme (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : une forme ou un outil ?
1,5 min
Une fonction est convexe si sa dérivée est croissante, ce qui se traduit par $f^{''} \geq 0$ f''≥0 quand elle existe. Problématique : au-delà de la forme de la courbe, que permet de démontrer la convexité ?
2. Au-dessus des tangentes
3,5 min
Propriété : une fonction convexe est au-dessus de chacune de ses tangentes. Application immédiate : $exp$ exp est convexe ( $exp^{''} = exp > 0$ exp''=exp>0), sa tangente en 0 est $y = 1 + x$ y=1+x, donc $e^{x} \geq 1 + x$ e^(x)≥1+x pour tout réel $x$ x.
De même, $ln$ ln est concave ( $ln^{''} (x) = - \frac{1}{x ^{2}} < 0$ ln''(x)=-1/x²<0), sa tangente en 1 est $y = x - 1$ y=x-1, donc $ln x \leq x - 1$ ln x≤ x-1 pour tout $x > 0$ x>0. Deux inégalités essentielles obtenues sans étude de fonction.
3. Sous les cordes : moyenne arithmétique et géométrique
3,5 min
Une fonction concave est au-dessus de ses cordes : le milieu de la corde est sous la courbe. Pour $ln$ ln et deux réels $a, b > 0$ a,b>0 : $\frac{l n a + l n b}{2} \leq ln \frac{a + b}{2}$ (ln a+ln b)/2≤ln(a+b)/2.
Or $\frac{l n a + l n b}{2} = ln ab$ (ln a+ln b)/2=ln√(ab). Comme $exp$ exp est croissante : $ab \leq \frac{a + b}{2}$ √(ab)≤(a+b)/2. La moyenne géométrique est toujours inférieure à la moyenne arithmétique.
Application : parmi les rectangles de périmètre fixé, le carré a la plus grande aire, car $x y \leq \frac{x + y}{2}$ √(xy)≤(x+y)/2 avec $x + y$ x+y fixé.
4. Conclusion
1,5 min
La convexité est un outil : être au-dessus des tangentes ou sous les cordes se traduit directement en inégalités. Elle explique aussi les points d'inflexion, où la courbe traverse sa tangente. J'ouvre sur l'économie, où la concavité d'une fonction d'utilité modélise l'aversion au risque.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

exp^{''} > 0 \Rightarrow e^{x} \geq 1 + x ln^{''} (x) = - \frac{1}{x ^{2}} < 0 \Rightarrow ln x \leq x - 1 exp''>0 \Rightarrow e^(x)\geq1+x ln''(x)=-1/x²<0 \Rightarrow ln x\leq x-1 \frac{ln a + ln b}{2} \leq ln \frac{a + b}{2} ⟺ ln ab \leq ln \frac{a + b}{2} ⟺ ab \leq \frac{a + b}{2} (ln a+ln b)/2\leqln(a+b)/2\Leftrightarrowln\sqrt(ab)\leqln(a+b)/2\Leftrightarrow\sqrt(ab)\leq(a+b)/2

Conclusion : la réponse à la question

La convexité sert à démontrer : une fonction convexe est au-dessus de ses tangentes, une fonction concave au-dessus de ses cordes. On en tire $e^{x} \geq 1 + x$ e^(x)≥1+x, $ln x \leq x - 1$ ln x≤ x-1 et l'inégalité entre moyennes, en quelques lignes.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Démontrez qu'une fonction convexe est au-dessus de ses tangentes.

On pose $g (x) = f (x) - f (a) - f^{'} (a) (x - a)$ g(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a). Alors $g^{'} (x) = f^{'} (x) - f^{'} (a)$ g'(x)=f'(x)-f'(a), négatif pour $x < a$ x<a et positif pour $x > a$ x>a car $f^{'}$ f' est croissante. Donc $g$ g a un minimum en $a$ a, où elle vaut 0 : $g \geq 0$ g≥0.

Qu'est-ce qu'un point d'inflexion ?

Un point où la courbe traverse sa tangente, c'est-à-dire où la convexité change. Si $f^{''}$ f'' s'annule en changeant de signe en $a$ a, le point d'abscisse $a$ a est un point d'inflexion. Exemple : $x \mapsto x^{3}$ x↦ x³ en 0.

Quand a-t-on égalité dans

ab \leq \frac{a + b}{2}

√(ab)≤(a+b)/2 ?

Si et seulement si $a = b$ a=b : $\frac{a + b}{2} - ab = \frac{( a - b ) ^{2}}{2}$ (a+b)/2-√(ab)=(( √a - √b )²)/2.

Étudiez la convexité de

x \mapsto x^{3} - 3 x

x↦ x³-3x.

$f^{''} (x) = 6 x$ f''(x)=6x : concave sur $] - \infty; 0]$ ]-∞;0], convexe sur $[0; + \infty [$ [0;+∞[, point d'inflexion en 0.

Une fonction peut-elle être convexe sans être dérivable deux fois ?

Oui : la valeur absolue est convexe (elle est sous ses cordes) mais n'est pas dérivable en 0. La définition générale porte sur les cordes ; le critère $f^{''} \geq 0$ f''≥0 n'est qu'une condition pratique.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre convexe (dérivée croissante) et croissante.
Inverser les positions : la fonction convexe est au-dessus des tangentes, sous les cordes.
Oublier les conditions a > 0, b > 0 pour le logarithme.

Revoir les notions

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