Question de mathsMathsDérivation et optimisation

Comment résoudre une équation qu'aucune formule ne permet de résoudre ?

La méthode de Newton remplace la courbe par sa tangente et itère xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ) ; pour x³ + x − 1 = 0, trois itérations depuis 1 donnent 0,68234, avec cinq décimales exactes.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En terminale, on sait prouver qu'une équation comme $x^{3} + x - 1 = 0$ x³+x-1=0 a une solution, mais pas la calculer. La dichotomie est lente. J'ai découvert la méthode de Newton, inventée au XVIIᵉ siècle, et j'ai été impressionné par sa rapidité. J'ai voulu comprendre l'idée géométrique qui la fonde.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser la tangente pour construire une suite qui converge vers une solution, et comparer l'efficacité de deux algorithmes.

Mathématiques

Équation de la tangente (première)
Suites définies par $u_{n + 1} = g (u_{n})$ uₙ₊₁=g(uₙ) (terminale)
Théorème des valeurs intermédiaires (terminale)
Algorithmique : boucles et critère d'arrêt (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : une équation sans formule
1,5 min
$f (x) = x^{3} + x - 1$ f(x)=x³+x-1 est continue et strictement croissante, $f (0) < 0 < f (1)$ f(0)<0<f(1) : il existe une unique solution $α \in [0; 1]$ α∈[0;1]. Problématique : comment la calculer précisément et rapidement ?
2. L'idée de Newton : suivre la tangente
3,5 min
On part d'une valeur $x_{0}$ x₀. La tangente en $x_{0}$ x₀ a pour équation $y = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ y=f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀). Elle coupe l'axe des abscisses en $x_{1} = x_{0} - \frac{f ( x _{0} )}{f ^{'} ( x _{0} )}$ x₁=x₀-f(x₀)/f'(x₀), souvent bien plus proche de la solution.
On recommence : $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f ( x _{n} )}{f ^{'} ( x _{n} )}$ xₙ₊₁=xₙ-f(xₙ)/f'(xₙ). Ici $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 1$ f'(x)=3x²+1, donc $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{x _{n}^{3} + x _{n} - 1}{3 x _{n}^{2} + 1}$ xₙ₊₁=xₙ-(xₙ³+xₙ-1)/(3xₙ²+1).
3. Les calculs et la vitesse
3,5 min
Depuis $x_{0} = 1$ x₀=1 : $x_{1} = 1 - \frac{1}{4} = 0, 75$ x₁=1-1/4=0,75 ; $x_{2} = 0, 75 - \frac{0 , 171 875}{2 , 687 5} \approx 0, 68605$ x₂=0,75-(0,171 875)/(2,687 5)≈0,686 05 ; $x_{3} \approx 0, 68234$ x₃≈0,682 34 ; $x_{4} \approx 0, 682328$ x₄≈0,682 328.
Le nombre de décimales exactes double à peu près à chaque étape. La dichotomie, elle, gagne une décimale toutes les 3,3 étapes environ : il lui faudrait une vingtaine d'étapes pour la même précision. En contrepartie, Newton demande de connaître la dérivée et peut échouer si l'on part trop loin ou si $f^{'}$ f' s'annule.
4. Conclusion
1,5 min
On résout une équation sans formule en construisant une suite qui converge vers la solution. La méthode de Newton, fondée sur la tangente, est extrêmement rapide quand on part assez près. C'est ainsi que les calculatrices obtiennent les racines carrées : la méthode de Héron est la méthode de Newton appliquée à $x^{2} - a$ x²-a.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f ( x _{n} )}{f ^{'} ( x _{n} )} = x_{n} - \frac{x _{n}^{3} + x _{n} - 1}{3 x _{n}^{2} + 1} xₙ₊₁=xₙ-f(xₙ)/f'(xₙ)=xₙ-(xₙ³+xₙ-1)/(3xₙ²+1) x_{0} = 1, x_{1} = 0, 75, x_{2} \approx 0, 68605, x_{3} \approx 0, 68234, x_{4} \approx 0, 682328 x₀=1, x₁=0,75, x₂\approx0,686 05, x₃\approx0,682 34, x₄\approx0,682 328

Conclusion : la réponse à la question

La méthode de Newton résout des équations sans formule en remplaçant la courbe par sa tangente et en itérant. Quatre étapes suffisent ici pour six décimales, là où la dichotomie en demanderait une vingtaine ; mais elle exige la dérivée et un bon point de départ.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Retrouvez l'abscisse

x_{1}

x₁ à partir de l'équation de la tangente.

On résout $0 = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ 0=f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀), d'où $x = x_{0} - \frac{f ( x _{0} )}{f ^{'} ( x _{0} )}$ x=x₀-f(x₀)/f'(x₀), à condition que $f^{'} (x_{0}) \neq = 0$ f'(x₀)≠0.

Que se passe-t-il si f′(xₙ) = 0 ?

La tangente est horizontale et ne coupe pas l'axe : la méthode échoue. C'est pourquoi il faut un point de départ où la dérivée n'est pas nulle.

Montrez que la méthode de Héron est un cas de Newton.

Avec $f (x) = x^{2} - 2$ f(x)=x²-2 : $x - \frac{x ^{2} - 2}{2 x} = \frac{x ^{2} + 2}{2 x} = \frac{1}{2} (x + \frac{2}{x})$ x-(x²-2)/2x=(x²+2)/2x=1/2(x+2/x).

Quel critère d'arrêt en Python ?

On s'arrête quand |xₙ₊₁ − xₙ| devient inférieur à une tolérance, par exemple 10⁻¹⁰, ou après un nombre maximal d'itérations pour éviter une boucle infinie.

La méthode converge-t-elle toujours ?

Non : pour certaines fonctions et certains points de départ, la suite oscille ou s'éloigne. La convergence est garantie dans des cas favorables, par exemple une fonction convexe et croissante avec un départ à droite de la solution.

Comment la méthode de Newton calcule-t-elle 1/a sans division ?

Avec $f (x) = \frac{1}{x} - a$ f(x)=1/x-a, la formule devient $x_{n + 1} = x_{n} (2 - a x_{n})$ xₙ₊₁=xₙ(2-axₙ) : seulement des multiplications et des soustractions. Les processeurs l'utilisent pour calculer des inverses.

Pourquoi le nombre de décimales double-t-il ?

Près de la solution, l'erreur à l'étape suivante est proportionnelle au carré de l'erreur actuelle : une erreur de $1 0^{- 3}$ 10⁻³ devient de l'ordre de $1 0^{- 6}$ 10⁻⁶. On parle de convergence quadratique.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier de vérifier que f′(xₙ) ≠ 0.
Présenter la méthode sans l'interprétation géométrique de la tangente.
Affirmer que la méthode converge toujours.

Revoir les notions

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