Comment justifiez-vous que $r₀$ est un minimum et non un maximum ?

Par le signe de $S'(r)$, qui est celui de $4π r³-2V$ : négatif pour $r r₀$. $S$ décroît puis croît.

Question de mathsMathsDérivation et optimisation

Quelle forme donner à une canette pour utiliser le moins de métal possible ?

Q: Que se passe-t-il quand r tend vers 0 ou vers l'infini ?

Quand $r→0$, $2V/r→+∞$ (canette très fine et très haute) ; quand $r→+∞$, $2π r²→+∞$ (canette plate). La surface est donc grande aux deux extrêmes, ce qui garantit l'existence d'un minimum.

Q: Et si le couvercle et le fond coûtent trois fois plus cher que la paroi ?

Le coût devient $C(r)=6π r²+2V/r$, minimal pour $r³=V/6π$, et alors $h=6r$ : la canette optimale devient trois fois plus haute que son diamètre, plus proche des vraies canettes.

Q: Pourquoi une fonction varie-t-elle lentement près de son minimum ?

Parce que la tangente y est horizontale : $S(r₀+ε)≈ S(r₀)+ε S'(r₀)=S(r₀)$. L'écart n'apparaît qu'au second ordre, proportionnellement à $ε²$.

Q: Comment calculer la racine cubique sans calculatrice ?

$330/2π≈52,5$ ; comme $3,7³≈50,7$ et $3,8³≈54,9$, on encadre $r₀$ entre 3,7 et 3,8 cm.

Pour un cylindre de volume fixé, la surface est minimale quand la hauteur est égale au diamètre ; une canette de 33 cl optimale aurait un rayon de 3,7 cm. Les vraies canettes s'en écartent pourtant peu en coût, car la surface varie lentement près de son minimum.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En buvant une canette, je me suis demandé pourquoi elles sont plus hautes que larges, alors qu'un fabricant devrait chercher à économiser le métal. J'ai voulu résoudre ce problème d'optimisation avec la dérivation, puis comparer le résultat avec la réalité, et j'ai été surpris par la conclusion.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser un problème concret par une fonction d'une variable, la dériver pour trouver un minimum, puis discuter la pertinence du modèle.

Mathématiques

Dérivation : fonction inverse, puissances (première)
Signe de la dérivée, variations et extremum (première)
Mise en équation d'un problème (première et terminale)
Interprétation d'une dérivée nulle : courbe localement « plate » (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : un problème d'industriel
1,5 min
Une canette est un cylindre de rayon $r$ r et de hauteur $h$ h, de volume fixé $V = 330$ V=330 cm³. La quantité de métal est proportionnelle à la surface totale. Problématique : quelles dimensions minimisent la surface, et les vraies canettes les respectent-elles ?
2. Mettre en équation
3 min
Surface : $S = 2 π r^{2} + 2 π r h$ S=2π r²+2π rh (deux disques et la paroi). Volume : $V = π r^{2} h$ V=π r²h, donc $h = \frac{V}{π r ^{2}}$ h=V/(π r²). En remplaçant : $S (r) = 2 π r^{2} + \frac{2 V}{r}$ S(r)=2π r²+2V/r pour $r > 0$ r>0.
Le volume fixé permet d'éliminer une variable : on obtient une fonction d'une seule variable, que l'on sait étudier.
3. Trouver le minimum
4 min
$S^{'} (r) = 4 π r - \frac{2 V}{r ^{2}} = \frac{4 π r ^{3} - 2 V}{r ^{2}}$ S'(r)=4π r-2V/r²=(4π r³-2V)/r². Elle s'annule pour $r^{3} = \frac{V}{2 π}$ r³=V/2π, est négative avant et positive après : $S$ S admet un minimum en $r_{0} = (\frac{V}{2 π})^{1/3}$ r₀=(V/2π)^(1/3).
À ce minimum, $V = 2 π r_{0}^{3}$ V=2π r₀³ et $h = \frac{V}{π r _{0}^{2}} = 2 r_{0}$ h=V/(π r₀²)=2r₀ : la hauteur est égale au diamètre. Pour 330 cm³ : $r_{0} \approx 3, 7$ r₀≈3,7 cm, $h \approx 7, 5$ h≈7,5 cm, surface $\approx 264$ ≈264 cm².
Une vraie canette a un rayon d'environ 3,3 cm. Un cylindre de 330 cm³ de ce rayon a une surface d'environ 268 cm² : seulement 1,5 % de plus. Près d'un minimum, la dérivée est nulle et la courbe est presque plate : s'écarter un peu de l'optimum coûte très peu.
4. Conclusion
1,5 min
Mathématiquement, la canette idéale est aussi haute que large. Les fabricants préfèrent une canette plus étroite, plus facile à tenir et à empiler, car l'écart de métal est minime. Le modèle ignore aussi que le fond et le couvercle sont plus épais que la paroi. J'ouvre sur le cas d'un couvercle trois fois plus épais, qui conduit à une canette plus haute.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

S (r) = 2 π r^{2} + \frac{2 V}{r}, S^{'} (r) = 4 π r - \frac{2 V}{r ^{2}} = \frac{4 π r ^{3} - 2 V}{r ^{2}} S(r)=2π r²+2V/r, S'(r)=4π r-2V/r²=(4π r³-2V)/r² S^{'} (r) = 0 ⟺ r^{3} = \frac{V}{2 π} \Rightarrow h = \frac{V}{π r ^{2}} = 2 r S'(r)=0\Leftrightarrow r³=V/2π \Rightarrow h=V/(π r²)=2r V = 330 : r_{0} \approx 3, 7 cm, h \approx 7, 5 cm, S \approx 264 cm^{2} V=330 : r₀\approx3,7 cm , h\approx7,5 cm , S\approx264 cm ²

Conclusion : la réponse à la question

La surface d'un cylindre de volume donné est minimale quand sa hauteur égale son diamètre. Les vraies canettes s'en écartent pour des raisons pratiques, et le calcul montre que ce choix ne coûte presque rien, car une fonction varie lentement près de son minimum.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Comment justifiez-vous que

r_{0}

r₀ est un minimum et non un maximum ?

Par le signe de $S^{'} (r)$ S'(r), qui est celui de $4 π r^{3} - 2 V$ 4π r³-2V : négatif pour $r < r_{0}$ r<r₀, positif pour $r > r_{0}$ r>r₀. $S$ S décroît puis croît.

Que se passe-t-il quand r tend vers 0 ou vers l'infini ?

Quand $r \to 0$ r→0, $\frac{2 V}{r} \to + \infty$ 2V/r→+∞ (canette très fine et très haute) ; quand $r \to + \infty$ r→+∞, $2 π r^{2} \to + \infty$ 2π r²→+∞ (canette plate). La surface est donc grande aux deux extrêmes, ce qui garantit l'existence d'un minimum.

Et si le couvercle et le fond coûtent trois fois plus cher que la paroi ?

Le coût devient $C (r) = 6 π r^{2} + \frac{2 V}{r}$ C(r)=6π r²+2V/r, minimal pour $r^{3} = \frac{V}{6 π}$ r³=V/6π, et alors $h = 6 r$ h=6r : la canette optimale devient trois fois plus haute que son diamètre, plus proche des vraies canettes.

Pourquoi une fonction varie-t-elle lentement près de son minimum ?

Parce que la tangente y est horizontale : $S (r_{0} + ε) \approx S (r_{0}) + ε S^{'} (r_{0}) = S (r_{0})$ S(r₀+ε)≈ S(r₀)+ε S'(r₀)=S(r₀). L'écart n'apparaît qu'au second ordre, proportionnellement à $ε^{2}$ ε².

Comment calculer la racine cubique sans calculatrice ?

$\frac{330}{2 π} \approx 52, 5$ 330/2π≈52,5 ; comme $3, 7^{3} \approx 50, 7$ 3,7³≈50,7 et $3, 8^{3} \approx 54, 9$ 3,8³≈54,9, on encadre $r_{0}$ r₀ entre 3,7 et 3,8 cm.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier d'exprimer h en fonction de r : on ne peut pas dériver une fonction de deux variables.
Annoncer le minimum sans étudier le signe de la dérivée.
Conclure que les fabricants se trompent sans discuter les hypothèses du modèle.

Revoir les notions

Autres questions : dérivation et optimisation

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