Montrez que la découpe optimale vaut $a/6$ pour un carré de côté $a$.

$V(x)=x(a-2x)²$, $V'(x)=(a-2x)(a-6x)$, qui change de signe en $x=a/6$ sur $]0;a/2[$.

Question de mathsMathsDérivation et optimisation

Comment découper une feuille carrée pour fabriquer la boîte de plus grand volume ?

Q: Développez $V(x)$.

$V(x)=4x³-120x²+900x$ ; sa dérivée $12x²-240x+900=12(x²-20x+75)=12(x-5)(x-15)$, ce qui confirme les racines.

Q: Et avec une feuille A4 (21 × 29,7 cm) ?

$V(x)=x(21-2x)(29,7-2x)$ ; $V'(x)=12x²-202,8x+623,7$, dont la plus petite racine, environ $4,04$ cm, donne le maximum.

Q: Peut-on trouver le maximum sans dériver ?

Avec l'inégalité arithmético-géométrique : $4x(30-2x)(30-2x)$ est un produit de trois termes de somme 60, maximal quand ils sont égaux, soit $4x=30-2x$, $x=5$. C'est une belle vérification.

En découpant des carrés de côté x aux coins d'un carton de 30 cm, le volume vaut x(30 − 2x)² ; la dérivée s'annule pour x = 5 cm et le volume maximal est 2 000 cm³.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En technologie, au collège, nous avions fabriqué des boîtes en découpant les coins d'une feuille et en repliant les bords. Chacun avait choisi une taille de découpe au hasard, et les volumes étaient très différents. En première, j'ai compris que la dérivation permet de trouver la découpe idéale, et j'ai voulu le démontrer.

L'enjeu et les notions du programme

Optimiser une fonction polynomiale de degré 3 issue d'une situation géométrique, en tenant compte du domaine de définition.

Mathématiques

Dérivée d'un polynôme, dérivée d'un produit (première)
Signe d'un trinôme du second degré (première)
Tableau de variations et extremum sur un intervalle (première)
Domaine de validité d'un modèle (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : le problème
1,5 min
Un carré de carton de 30 cm de côté. On découpe un carré de côté $x$ x à chaque coin, puis on replie les bords pour former une boîte sans couvercle. Problématique : quelle valeur de $x$ x donne le plus grand volume ?
2. La fonction volume
3 min
La boîte a une base carrée de côté $30 - 2 x$ 30-2x et une hauteur $x$ x : $V (x) = x (30 - 2 x)^{2}$ V(x)=x(30-2x)². Le découpage n'est possible que pour $0 < x < 15$ 0<x<15.
Aux bornes, le volume tend vers 0 : boîte plate si $x$ x est petit, base nulle si $x$ x approche 15. Entre les deux, il existe donc un maximum.
3. Dériver et conclure
4 min
Avec la dérivée d'un produit : $V^{'} (x) = (30 - 2 x)^{2} + x \times 2 (30 - 2 x) (- 2) = (30 - 2 x) (30 - 2 x - 4 x) = (30 - 2 x) (30 - 6 x)$ V'(x)=(30-2x)²+x×2(30-2x)(-2)=(30-2x)(30-2x-4x)=(30-2x)(30-6x).
Sur $] 0; 15 [$ ]0;15[, $30 - 2 x > 0$ 30-2x>0 ; le signe de $V^{'}$ V' est celui de $30 - 6 x$ 30-6x : positif pour $x < 5$ x<5, négatif pour $x > 5$ x>5. Le volume est maximal pour $x = 5$ x=5 cm : $V (5) = 5 \times 2 0^{2} = 2000$ V(5)=5×20²=2 000 cm³.
Vérification : $V (4) = 4 \times 2 2^{2} = 1936$ V(4)=4×22²=1 936 et $V (6) = 6 \times 1 8^{2} = 1944$ V(6)=6×18²=1 944, tous deux inférieurs à 2 000.
4. Conclusion
1,5 min
Il faut découper des carrés de 5 cm, soit le sixième du côté, pour obtenir une boîte de 2 000 cm³. Le résultat se généralise : pour un carré de côté $a$ a, la découpe optimale est $\frac{a}{6}$ a/6. J'ouvre sur le cas d'une feuille rectangulaire, où l'on doit résoudre un trinôme avec le discriminant.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

V (x) = x (30 - 2 x)^{2}, 0 < x < 15 V(x)=x(30-2x)², 0<x<15 V^{'} (x) = (30 - 2 x)^{2} - 4 x (30 - 2 x) = (30 - 2 x) (30 - 6 x) V'(x)=(30-2x)²-4x(30-2x)=(30-2x)(30-6x) V^{'} (x) > 0 ⟺ x < 5 V_{m a x} = V (5) = 5 \times 2 0^{2} = 2000 cm^{3} V'(x)>0\Leftrightarrow x<5 V_max=V(5)=5\times20²=2 000 cm ³

Conclusion : la réponse à la question

La boîte de volume maximal s'obtient en découpant des carrés de 5 cm dans un carton de 30 cm ; elle contient 2 000 cm³. La dérivation, la factorisation de la dérivée et l'étude de son signe sur l'intervalle de validité donnent la réponse avec certitude.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Montrez que la découpe optimale vaut

\frac{a}{6}

a/6 pour un carré de côté

a

$V (x) = x (a - 2 x)^{2}$ V(x)=x(a-2x)², $V^{'} (x) = (a - 2 x) (a - 6 x)$ V'(x)=(a-2x)(a-6x), qui change de signe en $x = \frac{a}{6}$ x=a/6 sur $] 0; \frac{a}{2} [$ ]0;a/2[.

Pourquoi

x = 15

x=15 n'est-il pas solution, alors que

V^{'} (15) = 0

V'(15)=0 ?

Car 15 n'est pas dans l'intervalle de validité : la base serait réduite à un point, le volume nul. La dérivée s'annule là, mais ce n'est pas un maximum.

Développez

V (x)

V(x).

$V (x) = 4 x^{3} - 120 x^{2} + 900 x$ V(x)=4x³-120x²+900x ; sa dérivée $12 x^{2} - 240 x + 900 = 12 (x^{2} - 20 x + 75) = 12 (x - 5) (x - 15)$ 12x²-240x+900=12(x²-20x+75)=12(x-5)(x-15), ce qui confirme les racines.

Et avec une feuille A4 (21 × 29,7 cm) ?

$V (x) = x (21 - 2 x) (29, 7 - 2 x)$ V(x)=x(21-2x)(29,7-2x) ; $V^{'} (x) = 12 x^{2} - 202, 8 x + 623, 7$ V'(x)=12x²-202,8x+623,7, dont la plus petite racine, environ $4, 04$ 4,04 cm, donne le maximum.

Peut-on trouver le maximum sans dériver ?

Avec l'inégalité arithmético-géométrique : $4 x (30 - 2 x) (30 - 2 x)$ 4x(30-2x)(30-2x) est un produit de trois termes de somme 60, maximal quand ils sont égaux, soit $4 x = 30 - 2 x$ 4x=30-2x, $x = 5$ x=5. C'est une belle vérification.

Que représente géométriquement le maximum sur la courbe de V ?

Le point d'abscisse 5 où la tangente est horizontale : avant, la courbe monte (augmenter la découpe agrandit la boîte), après, elle descend (la base rétrécit trop vite). C'est le sommet de la courbe sur l'intervalle $] 0; 15 [$ ]0;15[.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier le domaine 0 < x < 15.
Garder la racine 15 de la dérivée sans discussion.
Ne pas factoriser V′(x) et se perdre dans le discriminant.

Revoir les notions

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