Justifiez $√(1+x)≈1+x/2$.

Tangente en 0 à $x↦√(1+x)$ : valeur 1, dérivée $1/(2√(1+x))$, soit $1/2$ en 0.

Donnez l'approximation affine de $e^(x)$ en 0.

$e^(x)≈1+x$. Comme $exp$ est convexe, $e^(x)≥1+x$ pour tout réel $x$.

Approchez $1/0,98$.

$1/(1+h)≈1-h$ en 0, avec $h=-0,02$ : $1/0,98≈1,02$ (exact : $1,0204…$).

Quelle erreur commet-on en remplaçant $√(4,4)$ par $2+0,4/4$ ?

L'approximation donne $2,1$, la valeur exacte est environ $2,0976$ : l'erreur, environ $0,0024$, est cent fois plus grande que pour $h=0,04$, car elle varie comme $h²$. L'approximation n'est fiable que près du point.

Question de mathsMathsDérivation et optimisation

En quel sens la tangente est-elle la meilleure approximation d'une courbe ?

Q: Quel lien avec la méthode d'Euler ?

Pour résoudre $y'=f(y)$, on remplace la courbe par sa tangente sur un petit pas $h$ : $y(t+h)≈ y(t)+hy'(t)$. L'erreur à chaque pas est négligeable devant $h$.

Près d'un point, f(a + h) = f(a) + h f′(a) + h ε(h) avec ε(h) → 0 : la tangente est la seule droite dont l'écart avec la courbe devient négligeable devant h. Exemple : √4,04 ≈ 2,01.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Un professeur de physique utilisait souvent « $1 + x \approx 1 + \frac{x}{2}$ √(1+x)≈1+x/2 quand $x$ x est petit » sans le justifier. J'ai compris en terminale qu'il s'agissait de la tangente. J'ai voulu préciser en quel sens c'est la « meilleure » approximation et mesurer l'erreur commise.

L'enjeu et les notions du programme

Donner un sens précis à l'approximation affine : la tangente est l'unique droite qui approche la courbe avec une erreur négligeable devant l'écart.

Mathématiques

Nombre dérivé comme limite du taux de variation (première)
Équation de la tangente (première)
Approximation affine locale (première et terminale)
Convexité et position de la courbe par rapport à ses tangentes (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : approcher une fonction par une droite
1,5 min
Toutes les droites passant par le point $(a; f (a))$ (a;f(a)) donnent une approximation de $f$ f près de $a$ a. Problématique : pourquoi choisir la tangente, et quelle erreur commet-on ?
2. La tangente et l'erreur
3,5 min
Par définition du nombre dérivé, $\frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h} \to f^{'} (a)$ (f(a+h)-f(a))/h→ f'(a). On pose $ε (h) = \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h} - f^{'} (a)$ ε(h)=(f(a+h)-f(a))/h-f'(a), qui tend vers 0. Alors $f (a + h) = f (a) + h f^{'} (a) + h ε (h)$ f(a+h)=f(a)+hf'(a)+hε(h).
L'erreur entre la courbe et la tangente vaut $h ε (h)$ hε(h) : elle est négligeable devant $h$ h. Pour une autre droite de pente $m \neq = f^{'} (a)$ m≠ f'(a), l'erreur vaut $h (f^{'} (a) - m) + h ε (h)$ h(f'(a)-m)+hε(h), qui est du même ordre que $h$ h. La tangente est donc la seule droite dont l'erreur devient négligeable devant l'écart : c'est le sens de « meilleure ».
3. Un exemple et une estimation de l'erreur
3,5 min
Avec $f (x) = x$ f(x)= √x en $a = 4$ a=4 : $f (4) = 2$ f(4)=2, $f^{'} (4) = \frac{1}{2 4} = \frac{1}{4}$ f'(4)=1/2sqrt4=1/4. Donc $4 + h \approx 2 + \frac{h}{4}$ √(4+h)≈2+h/4 : $4, 04 \approx 2, 01$ √(4,04)≈2,01. La valeur exacte est $2, 009975 \dots$ 2,009 975… : l'erreur vaut environ $2, 5 \times 1 0^{- 5}$ 2,5×10⁻⁵, beaucoup plus petite que $h = 0, 04$ h=0,04.
Le signe de l'erreur dépend de la convexité : √( ) est concave, sa courbe est sous ses tangentes, donc l'approximation $2 + \frac{h}{4}$ 2+h/4 est un peu trop grande.
4. Conclusion
1,5 min
La tangente est la meilleure approximation affine au sens où son erreur est négligeable devant l'écart $h$ h, propriété qu'aucune autre droite n'a. C'est le principe de la méthode d'Euler et de la méthode de Newton. J'ouvre sur les approximations par des polynômes de degré plus élevé, qui améliorent encore la précision.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

f (a + h) = f (a) + h f^{'} (a) + h ε (h), ε (h) h \to 0 0 f(a+h)=f(a)+h f'(a)+h ε(h), ε(h) \to 0 4 + h \approx 2 + \frac{h}{4} : 4, 04 \approx 2, 01 (exact : 2, 009975 \dots) \sqrt(4+h)\approx2+h/4 : \sqrt(4,04)\approx2,01 ( exact : 2,009 975\dots) droite de pente m \neq = f^{'} (a) : erreur = h (f^{'} (a) - m) + h ε (h) droite de pente m\neq f'(a) : erreur =hbigl(f'(a)-mbigr)+h ε(h)

Conclusion : la réponse à la question

La tangente approche la courbe avec une erreur négligeable devant l'écart à $a$ a, et c'est la seule droite à le faire. Le nombre dérivé, défini comme une limite, porte donc directement cette propriété d'approximation, utilisée partout en sciences.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Justifiez

1 + x \approx 1 + \frac{x}{2}

√(1+x)≈1+x/2.

Tangente en 0 à $x \mapsto 1 + x$ x↦√(1+x) : valeur 1, dérivée $\frac{1}{2 1 + x}$ 1/(2√(1+x)), soit $\frac{1}{2}$ 1/2 en 0.

Donnez l'approximation affine de

e^{x}

e^(x) en 0.

$e^{x} \approx 1 + x$ e^(x)≈1+x. Comme $exp$ exp est convexe, $e^{x} \geq 1 + x$ e^(x)≥1+x pour tout réel $x$ x.

Approchez

\frac{1}{0 , 98}

1/0,98.

$\frac{1}{1 + h} \approx 1 - h$ 1/(1+h)≈1-h en 0, avec $h = - 0, 02$ h=-0,02 : $\frac{1}{0 , 98} \approx 1, 02$ 1/0,98≈1,02 (exact : $1, 0204 \dots$ 1,0204…).

Quel lien avec la méthode d'Euler ?

Pour résoudre $y^{'} = f (y)$ y'=f(y), on remplace la courbe par sa tangente sur un petit pas $h$ h : $y (t + h) \approx y (t) + h y^{'} (t)$ y(t+h)≈ y(t)+hy'(t). L'erreur à chaque pas est négligeable devant $h$ h.

Pourquoi la position de la courbe dépend-elle de la convexité ?

Une fonction convexe est au-dessus de ses tangentes, une fonction concave en dessous : l'approximation par la tangente sous-estime une fonction convexe et surestime une fonction concave.

Quelle erreur commet-on en remplaçant

4, 4

√(4,4) par

2 + \frac{0 , 4}{4}

2+0,4/4 ?

L'approximation donne $2, 1$ 2,1, la valeur exacte est environ $2, 0976$ 2,0976 : l'erreur, environ $0, 0024$ 0,0024, est cent fois plus grande que pour $h = 0, 04$ h=0,04, car elle varie comme $h^{2}$ h². L'approximation n'est fiable que près du point.

Les pièges qui coûtent des points

Dire que la tangente « touche la courbe en un seul point » : faux en général (fonction cube).
Présenter l'approximation sans évaluer l'erreur.
Utiliser l'approximation loin du point a.

Revoir les notions

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