Question de mathsMathsDérivation et optimisation

Pourquoi le carré est-il le rectangle de plus grande aire à périmètre donné ?

À périmètre 2p fixé, l'aire d'un rectangle de côtés x et p − x vaut x(p − x), maximale pour x = p/2 : trois démonstrations (trinôme, dérivée, identité remarquable) d'un même fait géométrique.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Un agriculteur voisin voulait clôturer un enclos avec une longueur de grillage fixée, et se demandait quelle forme lui donnerait le plus de surface. J'ai pensé au carré, sans pouvoir le prouver. En première, j'ai trouvé plusieurs démonstrations, de la plus simple à la plus générale, et j'ai voulu les comparer.

L'enjeu et les notions du programme

Démontrer un résultat d'optimisation de plusieurs façons (second degré, dérivation, inégalité) et en tirer une propriété générale.

Mathématiques

Fonctions du second degré, forme canonique, sommet (première)
Dérivation et extremum (première)
Identité remarquable et inégalité $x y \leq (\frac{x + y}{2})^{2}$ xy≤((x+y)/2)² (seconde)
Inégalité entre moyennes et convexité (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : clôturer un enclos
1,5 min
Un rectangle de périmètre $2 p$ 2p fixé a des côtés $x$ x et $p - x$ p-x, avec $0 < x < p$ 0<x<p. Son aire vaut $A (x) = x (p - x)$ A(x)=x(p-x). Problématique : pour quelle valeur de $x$ x l'aire est-elle maximale ?
2. Deux démonstrations par l'analyse
4 min
Par le second degré : $A (x) = - x^{2} + p x = - (x - \frac{p}{2})^{2} + \frac{p ^{2}}{4}$ A(x)=-x²+px=-(x-p/2)²+p²/4. La forme canonique montre que l'aire est maximale pour $x = \frac{p}{2}$ x=p/2, valeur $\frac{p ^{2}}{4}$ p²/4 : le rectangle est un carré.
Par la dérivation : $A^{'} (x) = p - 2 x$ A'(x)=p-2x, positif pour $x < \frac{p}{2}$ x<p/2, négatif ensuite. Même conclusion.
Exemple : avec 40 m de grillage ( $p = 20$ p=20), le carré de 10 m donne 100 m², alors qu'un rectangle de $5 \times 15$ 5×15 ne donne que 75 m².
3. Une démonstration sans calcul de variations
3 min
Pour tous réels $x$ x et $y$ y : $(\frac{x + y}{2})^{2} - x y = \frac{( x - y ) ^{2}}{4} \geq 0$ ((x+y)/2)²-xy=((x-y)²)/4≥0. Donc $x y \leq (\frac{x + y}{2})^{2}$ xy≤((x+y)/2)², avec égalité si et seulement si $x = y$ x=y.
Avec $x + y = p$ x+y=p fixé, l'aire $x y$ xy est au plus $\frac{p ^{2}}{4}$ p²/4, atteint seulement pour le carré. Cette démonstration est la plus générale : c'est l'inégalité entre moyenne arithmétique et moyenne géométrique.
4. Conclusion
1,5 min
Le carré maximise l'aire à périmètre donné, ce que confirment trois démonstrations. Chacune a son intérêt : la forme canonique est rapide, la dérivée se généralise à d'autres fonctions, l'inégalité donne directement le maximum et le cas d'égalité. J'ouvre sur le problème de Didon : sans contrainte de forme, c'est le cercle qui enclôt la plus grande aire.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

A (x) = x (p - x) = - (x - \frac{p}{2})^{2} + \frac{p ^{2}}{4} A^{'} (x) = p - 2 x A(x)=x(p-x)=-(x-p/2)²+p²/4 A'(x)=p-2x (\frac{x + y}{2})^{2} - x y = \frac{( x - y ) ^{2}}{4} \geq 0 \Rightarrow x y \leq \frac{p ^{2}}{4} (x + y = p) ((x+y)/2)²-xy=((x-y)²)/4\geq0 \Rightarrow xylep²/4 (x+y=p)

Conclusion : la réponse à la question

À périmètre fixé, le carré est le rectangle d'aire maximale, avec une aire $\frac{p ^{2}}{4}$ p²/4. Les démonstrations par la forme canonique, la dérivée et l'inégalité $x y \leq (\frac{x + y}{2})^{2}$ xy≤((x+y)/2)² se confirment mutuellement.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Et si l'enclos s'appuie sur un mur (trois côtés clôturés) ?

Avec $x + 2 y = L$ x+2y=L, l'aire $A = y (L - 2 y)$ A=y(L-2y) est maximale pour $y = \frac{L}{4}$ y=L/4, $x = \frac{L}{2}$ x=L/2 : le côté le long du mur est deux fois plus long.

Quelle est l'aire d'un cercle de même périmètre que le carré de côté 10 ?

Périmètre 40 : $r = \frac{40}{2 π} = \frac{20}{π}$ r=40/2π=frac20π, aire $π r^{2} = \frac{400}{π} \approx 127$ π r²=frac400π≈127 m², plus que 100 m².

Inversement, à aire fixée, quel rectangle a le plus petit périmètre ?

Encore le carré : avec $x y = S$ xy=S, $x + y \geq 2 x y = 2 S$ x+y≥2√(xy)=2 √S, égalité pour $x = y$ x=y.

Pourquoi l'égalité n'a-t-elle lieu que pour le carré ?

$\frac{( x - y ) ^{2}}{4} = 0 ⟺ x = y$ ((x-y)²)/4=0⇔ x=y.

Comment généraliser à un pavé de surface donnée ?

Le cube maximise le volume à surface donnée : c'est l'inégalité entre moyennes pour trois nombres, hors programme mais dans le même esprit.

Comment présenteriez-vous ce résultat à un jury non mathématicien ?

Avec un exemple chiffré et une image : 40 m de grillage donnent 75 m² pour un rectangle de 5 sur 15, 96 m² pour 8 sur 12, et 100 m² pour le carré. Puis j'explique que l'écart à l'aire maximale vaut exactement le carré de la demi-différence des côtés.

Que vaut l'aire perdue pour un rectangle de 8 m sur 12 m ?

$(\frac{12 - 8}{2})^{2} = 4$ ((12-8)/2)²=4 m² : $100 - 96 = 4$ 100-96=4. C'est l'identité $\frac{p ^{2}}{4} - x y = \frac{( x - y ) ^{2}}{4}$ p²/4-xy=((x-y)²)/4 avec $x + y = p = 20$ x+y=p=20.

Les pièges qui coûtent des points

Affirmer le résultat sur un ou deux exemples numériques.
Oublier le domaine 0 < x < p.
Oublier le cas d'égalité, qui prouve l'unicité du carré.

Revoir les notions

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