Question de mathsMathsTrigonométrie et phénomènes périodiques

Comment une calculatrice peut-elle calculer le sinus d'un nombre ?

Q: Démontrez cos x ≥ 1 − x²/2 pour x ≥ 0.

$h(x)=cos x-1+x²/2$ : $h'(x)=x-sin x≥0$, $h(0)=0$, donc $h≥0$.

Q: Comment calculer sin 3 avec ces polynômes ?

On se ramène à un petit angle : $sin3=sin(π-3)$ avec $π-3≈0,1416$, puis on applique l'encadrement.

Q: Quel est le terme suivant de l'encadrement ?

$-x⁷/(5 040)$ : $sin x≥ x-x³/6+x⁵/120-x⁷/(5 040)$.

Q: Pourquoi les termes successifs diminuent-ils si vite ?

Le terme de degré $n$ contient $n!$ au dénominateur, qui croît beaucoup plus vite que $xⁿ$ quand $x$ est petit. Pour $x=0,5$, le terme de degré 7 vaut environ $1,5×10⁻⁶$.

En démontrant par études de fonctions que x − x³/6 ≤ sin x ≤ x − x³/6 + x⁵/120 pour x ≥ 0, on calcule sin 0,5 à 3 × 10⁻⁴ près avec de simples additions et multiplications : c'est le principe des approximations polynomiales.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Je me suis demandé comment une calculatrice, qui ne fait que des additions et des multiplications, peut donner $sin (0, 5)$ sin(0,5) avec dix décimales. Elle ne mesure pas d'angle ! J'ai découvert qu'on peut encadrer le sinus par des polynômes, et que la dérivation permet de démontrer ces encadrements.

L'enjeu et les notions du programme

Encadrer une fonction par des polynômes grâce à des études de fonctions successives, et en tirer un calcul numérique de précision garantie.

Mathématiques

Dérivées de sin et cos (terminale)
Étude de fonctions et démonstration d'inégalités (terminale)
Raisonnement par étapes successives (dérivées successives) (terminale)
Approximation et précision (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : calculer sans mesurer
1,5 min
Une calculatrice ne sait faire que des opérations élémentaires. Problématique : comment obtenir $sin (0, 5)$ sin(0,5) avec une précision garantie, en n'utilisant que des additions et des multiplications ?
2. Encadrer par des polynômes
4 min
Pour $x \geq 0$ x≥0, on démontre successivement : $cos x \leq 1$ cos x≤1 ; puis $sin x \leq x$ sin x≤ x (en étudiant $x - sin x$ x-sin x) ; puis $cos x \geq 1 - \frac{x ^{2}}{2}$ cos x≥1-x²/2 (en étudiant $cos x - 1 + \frac{x ^{2}}{2}$ cos x-1+x²/2, dont la dérivée est $x - sin x \geq 0$ x-sin x≥0) ; puis $sin x \geq x - \frac{x ^{3}}{6}$ sin x≥ x-x³/6 ; puis $cos x \leq 1 - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{4}}{24}$ cos x≤1-x²/2+x⁴/24 ; puis $sin x \leq x - \frac{x ^{3}}{6} + \frac{x ^{5}}{120}$ sin x≤ x-x³/6+x⁵/120.
À chaque étape, on intègre l'inégalité précédente par une étude de fonction : la dérivée de la nouvelle différence est l'inégalité déjà démontrée, et la valeur en 0 est nulle.
3. Le calcul de sin 0,5
3 min
$0, 5 - \frac{0 , 125}{6} \approx 0, 479167 \leq sin 0, 5 \leq 0, 479167 + \frac{0 , 5 ^{5}}{120} \approx 0, 479427$ 0,5-0,125/6≈0,479 167≤sin0,5≤0,479 167+0,5⁵/120≈0,479 427.
L'écart entre les deux bornes vaut $\frac{x ^{5}}{120} \approx 2, 6 \times 1 0^{- 4}$ x⁵/120≈2,6×10⁻⁴. La valeur exacte est $0, 479426 \dots$ 0,479 426… En poursuivant avec des termes de degré 7, 9…, on gagne rapidement des décimales. Pour les grands angles, la calculatrice se ramène d'abord à un petit angle grâce à la périodicité et aux symétries.
4. Conclusion
1,5 min
Une calculatrice peut calculer un sinus avec des polynômes, dont les encadrements se démontrent par des études de fonctions successives. La précision est garantie et s'améliore en ajoutant des termes. J'ouvre sur la même méthode pour l'exponentielle, avec $e^{x} \geq 1 + x + \frac{x ^{2}}{2}$ e^(x)≥1+x+x²/2.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

x - \frac{x ^{3}}{6} \leq sin x \leq x - \frac{x ^{3}}{6} + \frac{x ^{5}}{120} (x \geq 0) x-x³/6\leqsin x\leq x-x³/6+x⁵/120 (x\geq0) x = 0, 5 : 0, 479167 \leq sin 0, 5 \leq 0, 479427 (exact : 0, 479426 \dots) x=0,5 : 0,479 167\leqsin0,5\leq0,479 427 ( exact : 0,479 426\dots) \frac{d}{d x} (cos x - 1 + \frac{x ^{2}}{2}) = x - sin x \geq 0 d/dxBigl(cos x-1+x²/2Bigr)=x-sin x\geq0

Conclusion : la réponse à la question

Le sinus se calcule avec des polynômes qui l'encadrent, et chaque encadrement se démontre en dérivant la différence et en utilisant l'inégalité précédente. Une calculatrice applique ce principe, après s'être ramenée à un petit angle.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Démontrez cos x ≥ 1 − x²/2 pour x ≥ 0.

$h (x) = cos x - 1 + \frac{x ^{2}}{2}$ h(x)=cos x-1+x²/2 : $h^{'} (x) = x - sin x \geq 0$ h'(x)=x-sin x≥0, $h (0) = 0$ h(0)=0, donc $h \geq 0$ h≥0.

Comment calculer sin 3 avec ces polynômes ?

On se ramène à un petit angle : $sin 3 = sin (π - 3)$ sin3=sin(π-3) avec $π - 3 \approx 0, 1416$ π-3≈0,1416, puis on applique l'encadrement.

Quel est le terme suivant de l'encadrement ?

$- \frac{x ^{7}}{5 040}$ -x⁷/(5 040) : $sin x \geq x - \frac{x ^{3}}{6} + \frac{x ^{5}}{120} - \frac{x ^{7}}{5 040}$ sin x≥ x-x³/6+x⁵/120-x⁷/(5 040).

Les inégalités restent-elles vraies pour x négatif ?

Elles s'inversent par imparité du sinus : on travaille donc sur x ≥ 0 et on utilise sin(−x) = −sin x.

Quel est le nom de ces polynômes ?

Ce sont les polynômes de Taylor du sinus en 0, étudiés après le bac ; la démonstration par étapes en donne un aperçu au niveau de la terminale.

Pourquoi les termes successifs diminuent-ils si vite ?

Le terme de degré $n$ n contient $n!$ n! au dénominateur, qui croît beaucoup plus vite que $x^{n}$ xⁿ quand $x$ x est petit. Pour $x = 0, 5$ x=0,5, le terme de degré 7 vaut environ $1, 5 \times 1 0^{- 6}$ 1,5×10⁻⁶.

Les pièges qui coûtent des points

Appliquer les polynômes à un grand angle sans se ramener près de 0.
Oublier de vérifier la valeur en 0 dans chaque étude de fonction.
Confondre les bornes inférieures et supérieures.

Revoir les notions

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