Démontrez $1+2+…+2ⁿ⁻¹=2ⁿ-1$.

Par la formule $(qⁿ-1)/(q-1)$ avec $q=2$, ou par récurrence : si la somme vaut $2ⁿ-1$, en ajoutant $2ⁿ$ on obtient $2ⁿ⁺¹-1$.

Comment estimer $2⁶⁴$ de tête ?

$2⁶⁴=16×(2¹⁰)⁶≈16×10¹⁸=1,6×10¹⁹$ ; l'erreur vient de $1,024⁶≈1,15$, d'où $1,8×10¹⁹$.

Question de mathsMathsExponentielle et logarithme

Pourquoi notre intuition se trompe-t-elle face à une croissance exponentielle ?

Q: Au bout de combien de jours le nénuphar couvrait-il 1 % de l'étang ?

Il faut $2ⁿ⁻³⁰=0,01$, soit $30-n=ln100/ln2≈6,6$ : vers le jour 23. Un observateur au jour 23 ne voit presque rien, et l'étang est couvert une semaine plus tard.

Un nénuphar qui double chaque jour couvre la moitié de l'étang la veille du dernier jour ; les grains de riz de l'échiquier totalisent 2⁶⁴ − 1. Le calcul explique pourquoi l'exponentielle déjoue notre intuition linéaire.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

On m'a posé l'énigme du nénuphar : il double chaque jour et recouvre l'étang en 30 jours ; quand en recouvre-t-il la moitié ? J'ai répondu 15 jours, comme presque tout le monde. La bonne réponse, 29 jours, m'a fait comprendre que mon intuition raisonnait « en ajoutant » alors que le phénomène « multiplie ».

L'enjeu et les notions du programme

Distinguer croissance linéaire (suite arithmétique) et croissance exponentielle (suite géométrique), et quantifier leur écart.

Mathématiques

Suites arithmétiques et géométriques, comparaison (première)
Somme des termes d'une suite géométrique : $1 + 2 + \dots + 2^{n - 1} = 2^{n} - 1$ 1+2+…+2ⁿ⁻¹=2ⁿ-1 (première)
Croissances comparées (terminale)
Logarithme et ordres de grandeur (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : deux énigmes
1,5 min
Je pose l'énigme du nénuphar et celle de l'échiquier : un grain de riz sur la première case, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, et ainsi de suite jusqu'à la 64ᵉ. Problématique : pourquoi nos réponses spontanées sont-elles si fausses ?
2. Le nénuphar : raisonner à rebours
2,5 min
Si l'aire double chaque jour et que l'étang est couvert au jour 30, il était à moitié couvert au jour 29, au quart au jour 28, à un millième vers le jour 20 ( $2^{- 10} \approx 1 0^{- 3}$ 2⁻¹⁰≈10⁻³).
L'erreur vient d'un raisonnement linéaire : on imagine une croissance régulière, qui ferait la moitié du chemin en la moitié du temps. Or ici, 20 jours sur 30 ne couvrent qu'un millième de l'étang : presque tout se joue à la fin.
3. L'échiquier : la somme géométrique
4 min
Le nombre total de grains est $S = 1 + 2 + 4 + \dots + 2^{63}$ S=1+2+4+…+2⁶³. C'est une somme géométrique de raison 2 : $S = \frac{2 ^{64} - 1}{2 - 1} = 2^{64} - 1 \approx 1, 8 \times 1 0^{19}$ S=(2⁶⁴-1)/(2-1)=2⁶⁴-1≈1,8×10¹⁹.
À environ 25 mg le grain, cela représente près de $4, 6 \times 1 0^{11}$ 4,6×10¹¹ tonnes, des centaines de fois la production mondiale annuelle de riz. Et la dernière case contient à elle seule plus que toutes les précédentes réunies : $2^{63} > 2^{63} - 1$ 2⁶³>2⁶³-1. C'est la signature de l'exponentielle : chaque étape dépasse tout le passé.
4. Conclusion
2 min
Notre intuition est linéaire : elle ajoute des quantités égales. La croissance exponentielle multiplie, et chaque doublement dépasse tout ce qui précède. C'est pourquoi on réagit trop tard face à une épidémie ou à une dette qui double. J'ouvre sur les limites réelles : aucune croissance physique ne reste exponentielle indéfiniment, faute de ressources (modèle logistique).

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

N \overset{e}{ˊ} nuphar : A_{n} = A_{30} \times 2^{n - 30}, A_{29} = \frac{1}{2} A_{30}, A_{20} = 2^{- 10} A_{30} \approx \frac{1}{1 000} A_{30} Nénuphar : Aₙ=A₃₀\times2ⁿ⁻³⁰, A₂₉=1/2A₃₀, A₂₀=2⁻¹⁰A₃₀\approx1/(1 000)A₃₀ S = k = 0 \sum 63 2^{k} = \frac{2 ^{64} - 1}{2 - 1} = 2^{64} - 1 \approx 1, 8 \times 1 0^{19} S=Σ_k=0⁶³2^(k)=(2⁶⁴-1)/(2-1)=2⁶⁴-1\approx1,8\times10¹⁹ 2^{63} = (2^{64} - 1) - (2^{63} - 1) > 2^{63} - 1 = 1 + 2 + \dots + 2^{62} 2⁶³=(2⁶⁴-1)-(2⁶³-1)>2⁶³-1=1+2+\dots+2⁶²

Conclusion : la réponse à la question

L'intuition se trompe parce qu'elle raisonne par additions alors que l'exponentielle procède par multiplications. Les sommes géométriques le montrent précisément : avec un doublement, la dernière étape pèse plus que toutes les autres réunies.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Démontrez

1 + 2 + \dots + 2^{n - 1} = 2^{n} - 1

1+2+…+2ⁿ⁻¹=2ⁿ-1.

Par la formule $\frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ (qⁿ-1)/(q-1) avec $q = 2$ q=2, ou par récurrence : si la somme vaut $2^{n} - 1$ 2ⁿ-1, en ajoutant $2^{n}$ 2ⁿ on obtient $2^{n + 1} - 1$ 2ⁿ⁺¹-1.

Au bout de combien de jours le nénuphar couvrait-il 1 % de l'étang ?

Il faut $2^{n - 30} = 0, 01$ 2ⁿ⁻³⁰=0,01, soit $30 - n = \frac{l n 100}{l n 2} \approx 6, 6$ 30-n=ln100/ln2≈6,6 : vers le jour 23. Un observateur au jour 23 ne voit presque rien, et l'étang est couvert une semaine plus tard.

Comment comparer une croissance linéaire et exponentielle sur un graphique ?

En échelle ordinaire, l'exponentielle semble plate puis explose ; en échelle logarithmique, elle devient une droite, ce qui permet de repérer la croissance dès le début.

Une croissance peut-elle rester exponentielle ?

Non, dans le monde réel : les ressources limitées la freinent. Le modèle logistique $y^{'} = k y (1 - \frac{y}{K})$ y'=ky(1-y/K) commence comme une exponentielle et se stabilise à la capacité $K$ K.

Comment estimer

2^{64}

2⁶⁴ de tête ?

$2^{64} = 16 \times (2^{10})^{6} \approx 16 \times 1 0^{18} = 1, 6 \times 1 0^{19}$ 2⁶⁴=16×(2¹⁰)⁶≈16×10¹⁸=1,6×10¹⁹ ; l'erreur vient de $1, 02 4^{6} \approx 1, 15$ 1,024⁶≈1,15, d'où $1, 8 \times 1 0^{19}$ 1,8×10¹⁹.

Les pièges qui coûtent des points

Donner 15 jours pour le nénuphar sans expliquer l'erreur de raisonnement linéaire.
Écrire $2^{64}$ 2⁶⁴ au lieu de $2^{64} - 1$ 2⁶⁴-1 sans préciser l'arrondi.
Oublier de discuter les limites physiques du modèle.

Revoir les notions

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