Comment une démonstration peut-elle sembler juste et aboutir à un résultat faux ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Un ami m'a montré une démonstration de 1 = 2 où chaque ligne semblait juste. Je n'ai pas trouvé l'erreur tout de suite, et cela m'a inquiété : si une preuve fausse peut avoir l'air correcte, comment faire confiance aux miennes ? J'ai rassemblé trois fausses démonstrations célèbres pour comprendre les erreurs typiques et les règles qui les évitent.

L'enjeu et les notions du programme

Identifier les erreurs de raisonnement classiques (division par zéro, implication non réciproque, récurrence mal conduite) et en tirer des règles de rigueur.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Une démonstration est une suite d'étapes, chacune justifiée. Une seule étape fausse suffit à tout ruiner. Problématique : quelles erreurs se cachent derrière une preuve d'apparence correcte ?

2. 2. 1 = 2 : la division par zéro

   2,5 min

   Soit $a=b\ne 0$a=b≠0. Alors $a^2=ab$a²=ab, donc $a^2-b^2=ab-b^2$a²-b²=ab-b², soit $(a-b)(a+b)=b(a-b)$(a-b)(a+b)=b(a-b). En « simplifiant » par $a-b$a-b : $a+b=b$a+b=b, donc $2b=b$2b=b et $2=1$2=1.

   L'erreur : $a-b=0$a-b=0. On a divisé par zéro. De $xA=xB$xA=xB, on ne peut déduire $A=B$A=B que si $x\ne 0$x≠0 ; sinon on écrit $x(A-B)=0$x(A-B)=0 et on discute.

3. 3. Une équation : implication contre équivalence

   3 min

   Résolvons $\sqrt{x+2}=x$√(x+2)=x. En élevant au carré : $x+2=x^2$x+2=x², soit $x^2-x-2=0$x²-x-2=0, donc $(x-2)(x+1)=0$(x-2)(x+1)=0 : $x=2$x=2 ou $x=-1$x=-1. Vérification : $\sqrt{4}=2$sqrt4=2 convient, mais $\sqrt{1}=1\ne -1$sqrt1=1≠-1.

   L'élévation au carré est une implication, pas une équivalence : $A=B\Rightarrow A^2=B^2$A=B⇒ A²=B², mais $A^2=B^2$A²=B² donne aussi $A=-B$A=-B. On a introduit une solution parasite. Règle : vérifier les solutions, ou ajouter la condition $x\ge 0$x≥0.

4. 4. « Tous les chevaux ont la même couleur »

   2,5 min

   $P(n)$P(n) : « dans tout groupe de $n$n chevaux, tous ont la même couleur ». $P(1)$P(1) est vraie. « Hérédité » : dans un groupe de $n+1$n+1 chevaux, les $n$n premiers ont la même couleur, les $n$n derniers aussi ; les deux groupes ont des chevaux en commun, donc tous ont la même couleur.

   L'erreur : pour $n=1$n=1, les deux groupes d'un cheval, parmi deux chevaux, n'ont aucun cheval en commun. L'hérédité est fausse de 1 à 2, et la chaîne est rompue dès le premier maillon.

5. 5. Conclusion

   1 min

   Une démonstration peut sembler juste et être fausse si une étape cache une division par zéro, une implication utilisée comme une équivalence ou une hérédité qui ne vaut pas pour tous les rangs. Les règles qui en découlent : justifier chaque division, vérifier les solutions, tester l'hérédité sur les petits cas.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Simplifier par une expression sans vérifier qu'elle est non nulle.
• Enchaîner des « donc » sans se demander si ce sont des équivalences.
• Vérifier l'hérédité seulement pour des n assez grands.

Revoir les notions

• Calcul littéral et équations (Seconde) →
• Suites : récurrence et limites (Terminale spé maths) →

Autres questions : raisonnement et algorithmes

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