Dérivez $x↦∫₀^(x) e^(-t²)dt$.

Par le théorème, la dérivée est $e^(-x²)$, même si l'on ne sait pas exprimer la fonction avec des fonctions usuelles.

Question de mathsMathsIntégration

Pourquoi dériver et intégrer sont-elles des opérations inverses l'une de l'autre ?

Q: Pourquoi deux primitives diffèrent-elles d'une constante ?

Si $F'=G'=f$ sur un intervalle, alors $(F-G)'=0$, donc $F-G$ est constante sur cet intervalle.

Q: Quel lien avec la physique ?

Si $v(t)$ est la vitesse, la position est $x(t)=x(0)+∫₀^(t)v(s) ds$, et $x'(t)=v(t)$.

Q: Calculez $∫₁²dx/x$ et interprétez.

$ln2-ln1=ln2≈0,69$ : l'aire sous l'hyperbole entre 1 et 2. Le logarithme est la fonction aire de $1/x$ à partir de 1.

Si F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt, alors F′ = f : l'aire sous la courbe augmente, quand x varie de h, d'environ f(x) × h. Ce théorème fondamental unit deux problèmes historiquement séparés, les tangentes et les aires.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Pendant longtemps, j'ai vu la dérivation et l'intégration comme deux chapitres séparés : l'un parle de tangentes, l'autre d'aires. Quand j'ai compris que l'une défait l'autre, j'ai eu l'impression de découvrir un secret. J'ai voulu comprendre pourquoi deux problèmes géométriques aussi différents sont liés.

L'enjeu et les notions du programme

Comprendre et justifier le théorème fondamental de l'analyse, qui unit dérivation et intégration et fonde le calcul des intégrales.

Mathématiques

Intégrale comme aire, fonction intégrale (terminale)
Théorème : $x \mapsto \int_{a}^{x} f (t) d t$ x↦∫ₐ^(x)f(t) dt est la primitive de $f$ f nulle en $a$ a (terminale)
Nombre dérivé comme limite du taux d'accroissement (première)
Encadrement d'une intégrale par monotonie (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : deux problèmes, une solution
1,5 min
Le problème des tangentes (trouver une pente) et celui des aires (mesurer une surface) ont été étudiés séparément pendant deux mille ans. Problématique : pourquoi la dérivation et l'intégration sont-elles inverses l'une de l'autre ?
2. La fonction aire
3 min
Soit $f$ f continue et positive, et $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ F(x)=∫ₐ^(x)f(t) dt l'aire sous la courbe entre $a$ a et $x$ x. Quand $x$ x augmente de $h > 0$ h>0, l'aire augmente de $F (x + h) - F (x) = \int_{x}^{x + h} f (t) d t$ F(x+h)-F(x)=∫ₓ^(x+h)f(t) dt : l'aire d'une fine bande.
Si $f$ f est croissante, cette bande est encadrée par deux rectangles : $h f (x) \leq F (x + h) - F (x) \leq h f (x + h)$ h f(x)≤ F(x+h)-F(x)≤ h f(x+h).
3. Le passage à la limite
4 min
On divise par $h$ h : $f (x) \leq \frac{F ( x + h ) - F ( x )}{h} \leq f (x + h)$ f(x)≤(F(x+h)-F(x))/h≤ f(x+h). Quand $h \to 0$ h→0, $f (x + h) \to f (x)$ f(x+h)→ f(x) par continuité ; par le théorème des gendarmes, le taux d'accroissement tend vers $f (x)$ f(x). Donc $F^{'} (x) = f (x)$ F'(x)=f(x).
Interprétation : la vitesse à laquelle l'aire grandit est la hauteur de la courbe. Conséquence pratique : toute primitive $G$ G de $f$ f diffère de $F$ F d'une constante, donc $\int_{a}^{b} f = G (b) - G (a)$ ∫ₐ^(b)f=G(b)-G(a). C'est ce qui permet de calculer des aires avec des primitives.
4. Conclusion
1,5 min
Dériver la fonction aire redonne la fonction : l'intégration et la dérivation sont inverses. Ce théorème, établi par Newton et Leibniz au XVIIᵉ siècle, a unifié l'analyse. J'ouvre sur sa portée physique : la vitesse est la dérivée de la position, et la position est l'intégrale de la vitesse.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t h f (x) \leq F (x + h) - F (x) \leq h f (x + h) F(x)=\intₐ^(x)f(t) dt h f(x)\leq F(x+h)-F(x)\leq h f(x+h) f (x) \leq \frac{F ( x + h ) - F ( x )}{h} \leq f (x + h) h \to 0 F^{'} (x) = f (x) f(x)\leq(F(x+h)-F(x))/h\leq f(x+h) \to F'(x)=f(x) \int_{a}^{b} f = G (b) - G (a) pour toute primitive G \intₐ^(b)f=G(b)-G(a) pour toute primitive G

Conclusion : la réponse à la question

La dérivée de la fonction aire est la fonction elle-même : c'est le théorème fondamental de l'analyse. Il explique pourquoi on calcule des intégrales avec des primitives, et relie le problème des tangentes à celui des aires.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi deux primitives diffèrent-elles d'une constante ?

Si $F^{'} = G^{'} = f$ F'=G'=f sur un intervalle, alors $(F - G)^{'} = 0$ (F-G)'=0, donc $F - G$ F-G est constante sur cet intervalle.

Dérivez

x \mapsto \int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t

x↦∫₀^(x) e^(-t²)dt.

Par le théorème, la dérivée est $e^{- x^{2}}$ e^(-x²), même si l'on ne sait pas exprimer la fonction avec des fonctions usuelles.

Le résultat reste-t-il vrai si f n'est pas croissante ?

Oui, pour toute fonction continue ; la démonstration générale encadre la bande entre le minimum et le maximum de f sur [x ; x + h], qui tendent tous deux vers f(x).

Quel lien avec la physique ?

Si $v (t)$ v(t) est la vitesse, la position est $x (t) = x (0) + \int_{0}^{t} v (s) d s$ x(t)=x(0)+∫₀^(t)v(s) ds, et $x^{'} (t) = v (t)$ x'(t)=v(t).

Calculez

\int_{1}^{2} \frac{d x}{x}

∫₁²dx/x et interprétez.

$ln 2 - ln 1 = ln 2 \approx 0, 69$ ln2-ln1=ln2≈0,69 : l'aire sous l'hyperbole entre 1 et 2. Le logarithme est la fonction aire de $\frac{1}{x}$ 1/x à partir de 1.

Qui a découvert ce théorème ?

Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz, indépendamment, dans les années 1660 à 1680 ; Isaac Barrow, le professeur de Newton, en avait une version géométrique. Leibniz a inventé les notations $\int$ ∫ et $d x$ dx encore utilisées.

Les pièges qui coûtent des points

Énoncer le théorème sans justification, alors que la démonstration (cas croissant) est au programme.
Oublier l'hypothèse de continuité.
Confondre primitive et intégrale (une fonction et un nombre).

Revoir les notions

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