Comment retrouver la distance parcourue à partir de l'enregistrement de la vitesse ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Un reportage sur la sécurité routière expliquait qu'à 108 km/h, une voiture parcourt encore plusieurs dizaines de mètres après le début du freinage. Je me suis demandé comment on calcule cette distance à partir de la vitesse, et j'ai reconnu une intégrale.

L'enjeu et les notions du programme

Interpréter une intégrale comme la somme de petites distances, relier intégrale et primitive dans un contexte de mouvement.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction : de la vitesse à la distance

   1,5 min

   À vitesse constante, distance = vitesse × durée. Mais pendant un freinage, la vitesse change à chaque instant. Problématique : comment calculer la distance parcourue à partir de la courbe de vitesse ?

2. 2. Découper le temps

   3 min

   Sur un petit intervalle de durée $h$h, la vitesse varie peu : la distance parcourue est proche de $v(t)\times h$v(t)× h, l'aire d'un rectangle sous la courbe de vitesse. En additionnant et en faisant tendre $h$h vers 0, on obtient $d={\int }_{t_1}^{t_2}v(t)dt$d=∫_t₁^(t₂)v(t) dt.

   C'est cohérent avec la dérivation : si $x(t)$x(t) est la position, $x^{\prime }(t)=v(t)$x'(t)=v(t), donc $x$x est une primitive de $v$v et $d=x(t_2)-x(t_1)$d=x(t₂)-x(t₁).

3. 3. Calcul sur un freinage

   4 min

   Une voiture roule à 30 m/s (108 km/h) et freine avec une décélération constante de 6 m/s² : $v(t)=30-6t$v(t)=30-6t, nulle pour $t=5$t=5 s. La distance de freinage vaut ${\int }_0^5(30-6t)dt=[30t-3t^2{]}_0^5=150-75=75$∫₀⁵(30-6t) dt=[30t-3t²]₀⁵=150-75=75 m.

   On retrouve l'aire du triangle de base 5 et de hauteur 30 : $\frac{5\times 30}{2}=75$5×30/2=75. Si la vitesse double (60 m/s), la durée double et la distance est multipliée par 4 : 300 m. La distance de freinage croît comme le carré de la vitesse.

   Pour un freinage non linéaire, par exemple $v(t)=30e^{-t}$v(t)=30e^(-t), on calcule de la même façon la distance parcourue pendant les 5 premières secondes : ${\int }_0^{5}30e^{-t}dt=30(1-e^{-5})\approx 29,8$∫₀⁵30e^(-t)dt=30(1-e⁻⁵)≈29,8 m.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   La distance parcourue est l'intégrale de la vitesse, ce qui se lit comme une aire sous la courbe de vitesse. Le calcul montre que la distance de freinage est proportionnelle au carré de la vitesse : un argument mathématique pour les limitations de vitesse. J'ouvre sur la distance d'arrêt, qui ajoute la distance parcourue pendant le temps de réaction.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Multiplier la vitesse initiale par la durée (150 m au lieu de 75 m).
• Confondre distance et déplacement quand la vitesse change de signe.
• Oublier les unités (m/s, s, m).

Revoir les notions

• Calcul intégral (Terminale spé maths) →
• Primitives et équations différentielles (Terminale spé maths) →

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