Comment vérifier qu'un mât est bien perpendiculaire au sol ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

J'ai vu des ouvriers vérifier la verticalité d'un poteau avec deux niveaux posés sur deux faces différentes. Je me suis demandé pourquoi deux vérifications suffisent, alors qu'il y a une infinité de directions dans le sol. Le théorème sur l'orthogonalité d'une droite et d'un plan donne la réponse.

L'enjeu et les notions du programme

Caractériser l'orthogonalité d'une droite et d'un plan par deux conditions, et la traduire avec le produit scalaire et le vecteur normal.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction : une infinité de directions

   1,5 min

   Un mât est perpendiculaire au sol s'il est orthogonal à toutes les droites du sol. Problématique : pourquoi suffit-il de vérifier deux directions, et comment le traduire en coordonnées ?

2. 2. Deux droites sécantes suffisent

   4 min

   Soit $\vec{u}$vecteur u un vecteur directeur du mât, et $\vec{v}$vecteur v, $\vec{w}$vecteur w deux vecteurs non colinéaires du plan du sol. Tout vecteur du plan s'écrit $\vec{t}=\alpha \vec{v}+\beta \vec{w}$vecteur t =α vecteur v +β vecteur w.

   Si $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$vecteur u · vecteur v =0 et $\vec{u}\cdot \vec{w}=0$vecteur u · vecteur w =0, alors, par bilinéarité, $\vec{u}\cdot \vec{t}=\alpha \vec{u}\cdot \vec{v}+\beta \vec{u}\cdot \vec{w}=0$vecteur u · vecteur t =α vecteur u · vecteur v +β vecteur u · vecteur w =0. Le mât est orthogonal à toutes les droites du sol.

   C'est pourquoi les ouvriers vérifient l'aplomb sur deux faces perpendiculaires : deux directions non colinéaires suffisent. Une seule ne suffit pas : un mât penché dans le plan perpendiculaire à cette direction passerait le test.

3. 3. En coordonnées : le vecteur normal

   3 min

   Si le sol a pour équation $ax+by+cz+d=0$ax+by+cz+d=0, le vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$vecteur n (a;b;c) est orthogonal à toutes les droites du plan. Le mât est perpendiculaire au sol si et seulement si $\vec{u}$vecteur u est colinéaire à $\vec{n}$vecteur n.

   Exemple : sol incliné $x+y+2z=0$x+y+2z=0 et mât dirigé par $\vec{u}(2;2;4)$vecteur u (2;2;4) : $\vec{u}=2\vec{n}$vecteur u =2 vecteur n, il est perpendiculaire. Avec ${\vec{u}}^{\prime }(1;1;1)$vecteur u '(1;1;1), non : ${\vec{u}}^{\prime }\cdot (1;-1;0)=0$vecteur u '·(1;-1;0)=0 mais ${\vec{u}}^{\prime }\cdot (2;0;-1)=1\ne 0$vecteur u '·(2;0;-1)=1≠0.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Pour vérifier qu'une droite est perpendiculaire à un plan, il suffit de deux vérifications sur deux directions sécantes du plan, grâce à la bilinéarité du produit scalaire. En coordonnées, cela revient à la colinéarité avec un vecteur normal. J'ouvre sur la construction d'un vecteur normal à partir de deux vecteurs du plan.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Vérifier une seule direction.
• Confondre orthogonal et perpendiculaire (sécant et orthogonal).
• Oublier la bilinéarité dans la démonstration.

Revoir les notions

• Droites et plans dans l'espace (Terminale spé maths) →
• Géométrie dans l'espace (vecteurs) (Terminale spé maths) →

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