Justifiez le débord $1/4$ du deuxième livre.

On repère les positions depuis le bord du 3ᵉ livre. Si le 2ᵉ livre dépasse de $x$, son centre est en $x-1/2$ ; le 1ᵉʳ, qui dépasse du 2ᵉ de $1/2$, a son centre en $x$. Le centre de gravité commun est en $x-1/4$ ; il doit rester au-dessus du 3ᵉ livre, donc $x≤1/4$.

Donnez un encadrement de $Hₙ$.

$ln(n+1)≤ Hₙ≤1+ln n$, la majoration venant de $1/k≤ln k-ln(k-1)$ pour $k≥2$. On sait même que $Hₙ-ln n$ tend vers une constante $γ≈0,577$.

Question de mathsMathsL'infini, les suites et les limites

Peut-on empiler des livres pour qu'ils dépassent du bord d'une table aussi loin qu'on veut ?

Avec n livres de longueur 1, le débord maximal vaut (1 + 1/2 + … + 1/n)/2 : il tend vers l'infini, mais il faut 227 livres pour dépasser de trois longueurs.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

J'ai vu une vidéo où quelqu'un empilait des dominos dont le dernier dépassait entièrement du bord de la table, sans que la pile tombe. J'ai d'abord cru à un trucage. En faisant le calcul, j'ai retrouvé la somme harmonique étudiée en cours, et j'ai découvert qu'avec assez de livres, on peut dépasser aussi loin qu'on veut.

L'enjeu et les notions du programme

Relier une situation concrète d'équilibre à une somme qui diverge, et mesurer la lenteur de cette divergence avec le logarithme.

Mathématiques

Somme de termes et notation Σ (terminale)
Limite d'une suite, comparaison avec une suite qui tend vers +∞ (terminale)
Logarithme népérien, inégalité $ln (1 + x) \leq x$ ln(1+x)≤ x (terminale)
Algorithme de seuil (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : le défi
1,5 min
Je présente l'expérience avec des livres identiques de longueur 1. Problématique : quel est le débord maximal avec $n$ n livres, et peut-il dépasser n'importe quelle longueur ?
2. Trouver la règle d'empilement
3,5 min
On construit la pile par le haut. Règle d'équilibre : le centre de gravité de tous les livres situés au-dessus d'un livre doit se trouver au-dessus de ce livre. On admet ce principe de physique.
Le livre du haut peut dépasser de $\frac{1}{2}$ 1/2 du livre suivant. Les deux du haut ont leur centre de gravité à $\frac{1}{4}$ 1/4 en arrière du bord du 2ᵉ : ce dernier peut dépasser de $\frac{1}{4}$ 1/4 du 3ᵉ. Plus généralement, le $k$ k-ième livre en partant du haut dépasse de $\frac{1}{2 k}$ 1/2k de celui du dessous.
Le débord total avec $n$ n livres vaut donc $D_{n} = \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}) = \frac{H _{n}}{2}$ Dₙ=1/2(1+1/2+…+1/n)=Hₙ/2.
3. Le débord n'a pas de limite… mais il croît lentement
3,5 min
Avec $\frac{1}{k} \geq ln (k + 1) - ln k$ 1/k≥ln(k+1)-ln k, on obtient $H_{n} \geq ln (n + 1)$ Hₙ≥ln(n+1), donc $D_{n} \to + \infty$ Dₙ→+∞ : on peut dépasser aussi loin qu'on veut.
Mais $D_{n}$ Dₙ croît comme $\frac{l n n}{2}$ (ln n)/2 : 4 livres suffisent pour que le livre du haut soit entièrement au-delà du bord ( $D_{4} \approx 1, 04$ D₄≈1,04), mais il en faut 227 pour dépasser de trois longueurs, et environ 15 000 pour cinq.
4. Conclusion
1,5 min
Oui, en théorie, le débord peut être aussi grand qu'on veut, car la somme harmonique diverge. En pratique, la croissance logarithmique rend l'expérience vite irréalisable. J'ouvre sur la limite du modèle : livres parfaitement rigides et identiques, sans frottements ni déformation.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

D_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{2 k} = \frac{H _{n}}{2} \geq \frac{ln ( n + 1 )}{2} n \to + \infty + \infty Dₙ=Σ_k=1ⁿ1/2k=Hₙ/2\geq(ln(n+1))/2 \to +\infty D_{4} \approx 1, 04, D_{227} \approx 3, 002 D₄\approx1,04, D₂₂₇\approx3,002

Conclusion : la réponse à la question

Le débord maximal avec $n$ n livres vaut la moitié de la somme harmonique $H_{n}$ Hₙ. Comme cette somme diverge, il n'est pas borné ; mais il croît comme un logarithme, si lentement que des dizaines de milliers de livres ne suffiraient pas à dépasser de dix longueurs.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Justifiez le débord

\frac{1}{4}

1/4 du deuxième livre.

On repère les positions depuis le bord du 3ᵉ livre. Si le 2ᵉ livre dépasse de $x$ x, son centre est en $x - \frac{1}{2}$ x-1/2 ; le 1ᵉʳ, qui dépasse du 2ᵉ de $\frac{1}{2}$ 1/2, a son centre en $x$ x. Le centre de gravité commun est en $x - \frac{1}{4}$ x-1/4 ; il doit rester au-dessus du 3ᵉ livre, donc $x \leq \frac{1}{4}$ x≤1/4.

Comment trouver le nombre de livres pour dépasser de 3 longueurs ?

Avec un algorithme de seuil : on ajoute 1/(2k) tant que la somme ne dépasse pas 3. On obtient 227.

Donnez un encadrement de

H_{n}

Hₙ.

$ln (n + 1) \leq H_{n} \leq 1 + ln n$ ln(n+1)≤ Hₙ≤1+ln n, la majoration venant de $\frac{1}{k} \leq ln k - ln (k - 1)$ 1/k≤ln k-ln(k-1) pour $k \geq 2$ k≥2. On sait même que $H_{n} - ln n$ Hₙ-ln n tend vers une constante $γ \approx 0, 577$ γ≈0,577.

La pile est-elle la meilleure possible ?

Pour une pile d'un livre par niveau, oui. En plaçant plusieurs livres par niveau, comme des contrepoids, on peut faire mieux : c'est un problème de recherche récent.

Quelle hypothèse physique avez-vous utilisée ?

Qu'un objet posé est en équilibre tant que son centre de gravité se trouve au-dessus de son support. C'est une donnée du problème, pas une notion de mathématiques.

Les pièges qui coûtent des points

Donner le résultat sans expliquer d'où vient le terme 1/(2k).
Confondre « tend vers l'infini » et « croît vite ».
Oublier de préciser les hypothèses du modèle (livres identiques et rigides).

Revoir les notions

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