Pourquoi $(sin x)/x→1$ ?

C'est le taux d'accroissement $(sin x-sin0)/(x-0)$, qui tend vers $sin'(0)=cos0=1$.

Que valent $3+10/71$ et $3+1/7$ ?

Environ $3,1408$ et $3,1429$ : l'encadrement a une amplitude de 0,002.

Question de mathsMathsIntégration

Comment Archimède a-t-il encadré π sans calculatrice ?

Q: Démontrez que le côté de l'hexagone inscrit vaut le rayon.

Les six triangles ont un angle au centre de 60° et deux côtés égaux au rayon : ils sont équilatéraux, donc le côté vaut 1. On retrouve $2sinfracπ6=1$.

Q: Pourquoi le périmètre du polygone circonscrit est-il plus grand que $2π$ ?

Le cercle est une courbe convexe entièrement contenue dans le polygone : toute courbe convexe contenue dans une autre a un périmètre plus petit. Archimède l'admettait comme axiome.

Q: Combien de côtés pour obtenir π à 10⁻⁶ près ?

L'écart $bₙ-aₙ$ se comporte comme $π³/2n²$ environ ; il faut $n$ de l'ordre de 4 000 côtés, ce qui montre la lenteur de la méthode.

Q: Pourquoi Archimède doublait-il le nombre de côtés ?

Parce qu'il existe une formule qui donne le côté du polygone à $2n$ côtés à partir de celui à $n$ côtés, avec seulement des racines carrées. On l'obtient avec le théorème de Pythagore, sans connaître $π$.

Les périmètres des polygones réguliers inscrits et circonscrits à un cercle, n sin(π/n) et n tan(π/n), encadrent π et convergent vers lui ; avec 96 côtés, Archimède obtient 3 + 10/71 < π < 3 + 1/7.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

J'ai appris que l'approximation $\frac{22}{7}$ 22/7 de $π$ π remonte à Archimède, il y a plus de 2 000 ans. Comment a-t-il pu l'obtenir sans aucun outil de calcul moderne ? En reliant son raisonnement aux suites et à la trigonométrie, j'ai compris qu'il utilisait déjà une forme de limite.

L'enjeu et les notions du programme

Approcher un nombre irrationnel par deux suites qui l'encadrent et étudier leur convergence, en reliant géométrie, trigonométrie et limites.

Mathématiques

Cercle trigonométrique, sinus et cosinus (première)
Limite $lim_{x \to 0} \frac{s i n x}{x} = 1$ lim_x→0(sin x)/x=1 (terminale, nombre dérivé de sin en 0)
Suites et théorème d'encadrement (terminale)
Fonctions trigonométriques (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : coincer le cercle
1,5 min
Un cercle de rayon 1 a un périmètre $2 π$ 2π. Un polygone régulier inscrit a un périmètre plus petit, un polygone circonscrit un périmètre plus grand. Problématique : jusqu'où cet encadrement permet-il de connaître $π$ π ?
2. Les périmètres des polygones
3,5 min
Un polygone régulier inscrit à $n$ n côtés est formé de $n$ n triangles isocèles d'angle au centre $\frac{2 π}{n}$ 2π/n. Chaque côté mesure $2 sin \frac{π}{n}$ 2sinfracπ n, donc le demi-périmètre vaut $a_{n} = n sin \frac{π}{n}$ aₙ=nsinfracπ n.
Pour le polygone circonscrit, chaque côté mesure $2 tan \frac{π}{n}$ 2tanfracπ n, et le demi-périmètre vaut $b_{n} = n tan \frac{π}{n}$ bₙ=ntanfracπ n. Comme le cercle est entre les deux polygones : $a_{n} \leq π \leq b_{n}$ aₙ≤π≤ bₙ.
Hexagone : $a_{6} = 3$ a₆=3 et $b_{6} = 23 \approx 3, 46$ b₆=2sqrt3≈3,46.
3. Doubler les côtés : la convergence
3,5 min
Archimède double le nombre de côtés : 12, 24, 48, 96. Les valeurs se resserrent : pour 96 côtés, $3, 1410 \leq π \leq 3, 1427$ 3,1410≤π≤3,1427. Il conclut $3 + \frac{10}{71} < π < 3 + \frac{1}{7}$ 3+10/71<π<3+1/7, en encadrant à la main les racines carrées.
Avec nos outils : $a_{n} = π \times \frac{s i n ( π / n )}{π / n}$ aₙ=π×(sin(π/n))/(π/n). Comme $\frac{s i n x}{x} \to 1$ (sin x)/x→1 quand $x \to 0$ x→0 (c'est le nombre dérivé de $sin$ sin en 0), $a_{n} \to π$ aₙ→π. De même $b_{n} = \frac{a _{n}}{c o s ( π / n )} \to π$ bₙ=aₙ/(cos(π/n))→π.
4. Conclusion
1,5 min
Archimède a encadré $π$ π en coinçant le cercle entre deux polygones dont il doublait les côtés : deux suites qui convergent vers $π$ π, l'une par défaut, l'autre par excès. C'est une limite avant l'heure. J'ouvre sur les méthodes modernes, qui calculent des milliers de milliards de décimales avec des séries convergeant bien plus vite.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

a_{n} = n sin \frac{π}{n} \leq π \leq b_{n} = n tan \frac{π}{n} aₙ=nsinπ/n \leq π \leq bₙ=ntanπ/n a_{6} = 3, b_{6} = 23 \approx 3, 46 a_{96} \approx 3, 1410, b_{96} \approx 3, 1427 a₆=3, b₆=2sqrt3\approx3,46 a₉₆\approx3,1410, b₉₆\approx3,1427 a_{n} = π \times \frac{sin ( π / n )}{π / n} n \to + \infty π aₙ=π\times(sin(π/n))/(π/n) \to π

Conclusion : la réponse à la question

Archimède a encadré $π$ π par les périmètres de polygones inscrits et circonscrits : $3 + \frac{10}{71} < π < 3 + \frac{1}{7}$ 3+10/71<π<3+1/7 avec 96 côtés. La trigonométrie exprime ces périmètres et la limite $\frac{s i n x}{x} \to 1$ (sin x)/x→1 prouve qu'ils convergent vers $π$ π.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Démontrez que le côté de l'hexagone inscrit vaut le rayon.

Les six triangles ont un angle au centre de 60° et deux côtés égaux au rayon : ils sont équilatéraux, donc le côté vaut 1. On retrouve $2 sin \frac{π}{6} = 1$ 2sinfracπ6=1.

Pourquoi

\frac{s i n x}{x} \to 1

(sin x)/x→1 ?

C'est le taux d'accroissement $\frac{s i n x - s i n 0}{x - 0}$ (sin x-sin0)/(x-0), qui tend vers $sin^{'} (0) = cos 0 = 1$ sin'(0)=cos0=1.

Que valent

3 + \frac{10}{71}

3+10/71 et

3 + \frac{1}{7}

3+1/7 ?

Environ $3, 1408$ 3,1408 et $3, 1429$ 3,1429 : l'encadrement a une amplitude de 0,002.

Pourquoi le périmètre du polygone circonscrit est-il plus grand que

2 π

2π ?

Le cercle est une courbe convexe entièrement contenue dans le polygone : toute courbe convexe contenue dans une autre a un périmètre plus petit. Archimède l'admettait comme axiome.

Combien de côtés pour obtenir π à 10⁻⁶ près ?

L'écart $b_{n} - a_{n}$ bₙ-aₙ se comporte comme $\frac{π ^{3}}{2 n ^{2}}$ π³/2n² environ ; il faut $n$ n de l'ordre de 4 000 côtés, ce qui montre la lenteur de la méthode.

Pourquoi Archimède doublait-il le nombre de côtés ?

Parce qu'il existe une formule qui donne le côté du polygone à $2 n$ 2n côtés à partir de celui à $n$ n côtés, avec seulement des racines carrées. On l'obtient avec le théorème de Pythagore, sans connaître $π$ π.

Les pièges qui coûtent des points

Utiliser π dans le calcul des périmètres sans remarquer la circularité (Archimède calculait les côtés par des racines carrées).
Inverser inscrit et circonscrit dans l'encadrement.
Oublier que les deux suites encadrent π à chaque étape.

Revoir les notions

Autres questions : intégration

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