Résolvez $sin x=sqrt2/2$ sur $[0;2π[$.

$x=fracπ4$ ou $x=π-fracπ4=3π/4$.

Combien de solutions a $cos x=1$ sur $]-π;π]$ ?

Une seule, $x=0$ : les deux points symétriques sont confondus.

Aucune : le cosinus est compris entre $-1$ et $1$.

Résolvez $cos(2x)=1/2$ sur $[0;π]$.

$2x=±fracπ3+2kπ$, soit $x=±fracπ6+kπ$. Sur $[0;π]$ : $x=fracπ6$ et $x=5π/6$. Le facteur 2 double le nombre de solutions sur un intervalle donné.

Question de mathsMathsTrigonométrie et phénomènes périodiques

Pourquoi l'équation cos x = 1/2 a-t-elle une infinité de solutions ?

Q: Quand la hauteur d'eau est-elle maximale ?

Quand $cos((π t)/6)=1$, soit $t=0,12,24$ : 5 m.

Q: Pourquoi la calculatrice ne donne-t-elle qu'une solution ?

Sa fonction arccos renvoie l'unique solution dans $[0;π]$ ; les autres se déduisent par parité et périodicité.

Q: Comment présenter les solutions à un jury non scientifique ?

Avec le cercle au tableau : je trace la droite verticale d'abscisse $1/2$, qui coupe le cercle en deux points. Chaque tour supplémentaire ramène aux mêmes points, d'où une infinité de solutions, deux par tour.

Sur le cercle trigonométrique, deux points ont pour abscisse 1/2, aux angles π/3 et −π/3 ; la périodicité ajoute tous les multiples de 2π : x = ±π/3 + 2kπ. Application : les instants où une marée atteint une hauteur donnée.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En résolvant mon premier exercice d'équation trigonométrique, j'ai trouvé $x = \frac{π}{3}$ x=fracπ3 et je pensais avoir fini. Le corrigé donnait une infinité de solutions. Comprendre pourquoi m'a fait voir le cercle trigonométrique et la périodicité sous un nouveau jour, avec des applications très concrètes.

L'enjeu et les notions du programme

Résoudre une équation trigonométrique en exploitant le cercle, la parité et la périodicité, et interpréter les solutions dans un contexte.

Mathématiques

Cercle trigonométrique, valeurs remarquables (première)
Périodicité et parité des fonctions cosinus et sinus (terminale)
Équations cos x = a sur ℝ et sur un intervalle (première et terminale)
Modélisation d'un phénomène périodique (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : une seule solution ?
1,5 min
La calculatrice donne $arccos \frac{1}{2} = \frac{π}{3}$ arccos1/2=fracπ3, une seule valeur. Pourtant, la courbe de $cos$ cos coupe la droite $y = \frac{1}{2}$ y=1/2 une infinité de fois. Problématique : comment trouver toutes les solutions, et pourquoi sont-elles infinies ?
2. Lecture sur le cercle
3 min
$cos x$ cos x est l'abscisse du point associé à $x$ x sur le cercle. Les points d'abscisse $\frac{1}{2}$ 1/2 sont deux : celui associé à $\frac{π}{3}$ fracπ3 et son symétrique par rapport à l'axe des abscisses, associé à $- \frac{π}{3}$ -fracπ3 (parité du cosinus).
Sur $] - π; π]$ ]-π;π], il y a donc exactement deux solutions : $\frac{π}{3}$ fracπ3 et $- \frac{π}{3}$ -fracπ3.
3. La périodicité et une application
4 min
Un tour complet ramène au même point : $cos (x + 2 π) = cos x$ cos(x+2π)=cos x. Toutes les solutions s'écrivent $x = \frac{π}{3} + 2 k π$ x=fracπ3+2kπ ou $x = - \frac{π}{3} + 2 k π$ x=-fracπ3+2kπ, $k \in Z$ k∈ℤ : une infinité.
Application : la hauteur d'eau d'un port modélisée par $h (t) = 3 + 2 cos (\frac{2 π t}{12})$ h(t)=3+2cos((2π t)/12) (en mètres, $t$ t en heures, pleine mer à $t = 0$ t=0). La hauteur vaut 4 m quand $cos (\frac{π t}{6}) = \frac{1}{2}$ cos((π t)/6)=1/2, soit $\frac{π t}{6} = \pm \frac{π}{3} + 2 k π$ (π t)/6=±fracπ3+2kπ, $t = \pm 2 + 12 k$ t=±2+12k. Sur une journée : à 2 h, 10 h, 14 h et 22 h. Un bateau qui a besoin de 4 m d'eau peut entrer au port de 22 h à 2 h et de 10 h à 14 h.
4. Conclusion
1,5 min
L'équation $cos x = \frac{1}{2}$ cos x=1/2 a une infinité de solutions parce que deux points du cercle conviennent et que la périodicité les répète à chaque tour. Dans un contexte, on se restreint à l'intervalle utile. J'ouvre sur les inéquations, comme $h (t) \geq 4$ h(t)≥4, qui donnent des créneaux plutôt que des instants.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

cos x = \frac{1}{2} ⟺ x = \frac{π}{3} + 2 k π ou x = - \frac{π}{3} + 2 k π, k \in Z cos x=1/2\Leftrightarrow x=π/3+2kπ ou x=-π/3+2kπ, k\inℤ h (t) = 3 + 2 cos (\frac{π t}{6}) = 4 ⟺ cos (\frac{π t}{6}) = \frac{1}{2} ⟺ t = \pm 2 + 12 k h(t)=3+2cos ((π t)/6)=4\Leftrightarrowcos ((π t)/6)=1/2\Leftrightarrow t=\pm2+12k t \in [0; 24] : 2, 10, 14, 22 h t\in[0;24] : 2, 10, 14, 22 h

Conclusion : la réponse à la question

Une équation $cos x = a$ cos x=a (avec $- 1 < a < 1$ -1<a<1) a deux solutions par tour et une infinité au total, à cause de la parité et de la périodicité du cosinus. Dans une application, on ne garde que les solutions de l'intervalle pertinent, comme les horaires de marée d'une journée.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Résolvez

sin x = \frac{2}{2}

sin x=sqrt2/2 sur

[0; 2 π [

[0;2π[.

$x = \frac{π}{4}$ x=fracπ4 ou $x = π - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4}$ x=π-fracπ4=3π/4.

Combien de solutions a

cos x = 1

cos x=1 sur

] - π; π]

]-π;π] ?

Une seule, $x = 0$ x=0 : les deux points symétriques sont confondus.

cos x = 2

cos x=2 ?

Aucune : le cosinus est compris entre $- 1$ -1 et $1$ 1.

Quand la hauteur d'eau est-elle maximale ?

Quand $cos (\frac{π t}{6}) = 1$ cos((π t)/6)=1, soit $t = 0, 12, 24$ t=0,12,24 : 5 m.

Pourquoi la calculatrice ne donne-t-elle qu'une solution ?

Sa fonction arccos renvoie l'unique solution dans $[0; π]$ [0;π] ; les autres se déduisent par parité et périodicité.

Résolvez

cos (2 x) = \frac{1}{2}

cos(2x)=1/2 sur

[0; π]

[0;π].

$2 x = \pm \frac{π}{3} + 2 k π$ 2x=±fracπ3+2kπ, soit $x = \pm \frac{π}{6} + k π$ x=±fracπ6+kπ. Sur $[0; π]$ [0;π] : $x = \frac{π}{6}$ x=fracπ6 et $x = \frac{5 π}{6}$ x=5π/6. Le facteur 2 double le nombre de solutions sur un intervalle donné.

Comment présenter les solutions à un jury non scientifique ?

Avec le cercle au tableau : je trace la droite verticale d'abscisse $\frac{1}{2}$ 1/2, qui coupe le cercle en deux points. Chaque tour supplémentaire ramène aux mêmes points, d'où une infinité de solutions, deux par tour.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier la solution négative −π/3.
Oublier le terme 2kπ.
Garder des solutions hors de l'intervalle du contexte.

Revoir les notions

Autres questions : trigonométrie et phénomènes périodiques

Toutes les questions de maths →

Préparer l'oral, pas seulement le contenu

Gestion des 20 minutes de préparation, usage du tableau, posture debout, réponses au jury : la méthode complète, conforme aux règles de la session 2027.

Méthode : traiter une question de Grand oral →

Continuer la préparation

Le Grand oral 2027 →Méthode : traiter une question →Toutes les questions, par combinaison →Questions maths-physique-chimie →Questions maths-SES →Questions maths-SVT →Questions maths-NSI →Questions maths-SI →Questions maths-HGGSP →Questions maths-anglais →