Question de mathsMathsL'infini, les suites et les limites

Une figure peut-elle avoir un périmètre infini et une aire finie ?

Q: Pourquoi le nombre de segments est-il multiplié par 4 ?

Chaque segment est remplacé par quatre segments plus petits : les deux tiers extérieurs et les deux côtés du petit triangle.

Q: Pourquoi l'aire d'un triangle est-elle divisée par 9 quand son côté est divisé par 3 ?

Une aire est proportionnelle au carré des longueurs : pour un triangle équilatéral de côté $c$, l'aire vaut $sqrt3/4c²$.

Q: À partir de quelle étape le périmètre dépasse-t-il 100 ?

Il faut $3(4/3)ⁿ>100$, soit $n>(ln(100/3))/(ln(4/3))≈12,2$ : à partir de l'étape 13.

Q: Comment programmer le calcul de l'aire ?

Une boucle qui part de $A=a$ et d'un nombre de segments $c=3$, ajoute à chaque tour $ctimesa/9^(k)$ puis multiplie $c$ par 4 : les valeurs s'approchent de $1,6a$.

Le flocon de Koch : son périmètre est multiplié par 4/3 à chaque étape et tend vers l'infini, alors que son aire converge vers 8/5 de celle du triangle de départ.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En cherchant des images de fractales, je suis tombé sur le flocon de Koch, présenté comme une figure « de périmètre infini ». Pourtant, on peut la dessiner dans un cadre fini. J'ai voulu vérifier cette affirmation avec les outils de terminale, et j'ai été surpris de pouvoir la démontrer entièrement avec des suites géométriques.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser les suites géométriques pour étudier deux grandeurs d'une même construction infinie, l'une divergente et l'autre convergente.

Mathématiques

Suites géométriques : terme général et somme (première)
Limite de $q^{n}$ qⁿ selon la valeur de $q$ q (terminale)
Modélisation d'un processus itératif par des suites (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : la construction
1,5 min
Je dessine au tableau un triangle équilatéral de côté 1. À chaque étape, on découpe chaque segment en trois, on remplace le tiers central par deux côtés d'un petit triangle équilatéral tourné vers l'extérieur. Problématique : que deviennent le périmètre et l'aire quand on répète la construction indéfiniment ?
2. Le périmètre explose
3 min
À l'étape $n$ n, il y a $c_{n} = 3 \times 4^{n}$ cₙ=3×4ⁿ segments de longueur $ℓ_{n} = (\frac{1}{3})^{n}$ ℓₙ=(1/3)ⁿ. Le périmètre vaut $P_{n} = 3 (\frac{4}{3})^{n}$ Pₙ=3(4/3)ⁿ.
C'est une suite géométrique de raison $\frac{4}{3} > 1$ 4/3>1, donc $P_{n} \to + \infty$ Pₙ→+∞. Dès $n = 10$ n=10, $P_{10} \approx 53$ P₁₀≈53, alors que la figure tient dans un disque de rayon 1.
3. L'aire converge
4 min
Notons $a$ a l'aire du triangle initial. À l'étape $n \geq 1$ n≥1, on ajoute un petit triangle sur chacun des $c_{n - 1} = 3 \times 4^{n - 1}$ cₙ₋₁=3×4ⁿ⁻¹ segments ; son côté est divisé par $3^{n}$ 3ⁿ, donc son aire par $9^{n}$ 9ⁿ : on ajoute $3 \times 4^{n - 1} \times \frac{a}{9 ^{n}}$ 3×4ⁿ⁻¹timesa/9ⁿ.
L'aire totale vaut $A_{n} = a + \frac{a}{3} \sum_{k = 0}^{n - 1} (\frac{4}{9})^{k}$ Aₙ=a+a/3Σ_k=0ⁿ⁻¹(4/9)^(k). La raison $\frac{4}{9}$ 4/9 est dans $] 0, 1 [$ ]0,1[, donc $A_{n} \to a + \frac{a}{3} \times \frac{1}{1 - \frac{4}{9}} = a + \frac{3 a}{5} = \frac{8 a}{5}$ Aₙ→ a+a/3×1/(1-4/9)=a+3a/5=8a/5.
Avec $a = \frac{3}{4}$ a=sqrt3/4, l'aire limite vaut $\frac{2 3}{5} \approx 0, 69$ 2sqrt3/5≈0,69.
4. Conclusion
1,5 min
Oui : le flocon de Koch a une aire finie ( $\frac{8}{5}$ 8/5 de celle du triangle) et un périmètre infini. Tout se joue dans la raison des suites : $\frac{4}{3} > 1$ 4/3>1 pour le périmètre, $\frac{4}{9} < 1$ 4/9<1 pour l'aire ajoutée. J'ouvre sur les côtes maritimes, dont la longueur mesurée augmente quand on affine l'échelle, comme pour le flocon.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

P_{n} = 3 \times 4^{n} \times \frac{1}{3 ^{n}} = 3 (\frac{4}{3})^{n} n \to + \infty + \infty Pₙ=3\times4ⁿ\times1/3ⁿ=3(4/3)ⁿ \to +\infty A_{n} = a + k = 1 \sum n 3 \times 4^{k - 1} \times \frac{a}{9 ^{k}} = a + \frac{a}{3} k = 0 \sum n - 1 (\frac{4}{9})^{k} n \to + \infty \frac{8 a}{5} Aₙ=a+Σ_k=1ⁿ3\times4^(k-1)timesa/9^(k)=a+a/3Σ_k=0ⁿ⁻¹(4/9)^(k) \to 8a/5

Conclusion : la réponse à la question

Le flocon de Koch illustre la différence entre deux suites géométriques : l'une de raison supérieure à 1, qui diverge, l'autre de raison inférieure à 1, dont la somme converge. Un objet borné peut donc avoir une frontière de longueur infinie.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi le nombre de segments est-il multiplié par 4 ?

Chaque segment est remplacé par quatre segments plus petits : les deux tiers extérieurs et les deux côtés du petit triangle.

Pourquoi l'aire d'un triangle est-elle divisée par 9 quand son côté est divisé par 3 ?

Une aire est proportionnelle au carré des longueurs : pour un triangle équilatéral de côté $c$ c, l'aire vaut $\frac{3}{4} c^{2}$ sqrt3/4c².

À partir de quelle étape le périmètre dépasse-t-il 100 ?

Il faut $3 (\frac{4}{3})^{n} > 100$ 3(4/3)ⁿ>100, soit $n > \frac{l n ( 100/3 )}{l n ( 4/3 )} \approx 12, 2$ n>(ln(100/3))/(ln(4/3))≈12,2 : à partir de l'étape 13.

Le flocon tient-il vraiment dans un disque ?

Oui, le disque circonscrit à l'hexagramme formé à la première étape contient toutes les étapes suivantes : chaque ajout reste à l'intérieur de ce disque.

Comment programmer le calcul de l'aire ?

Une boucle qui part de $A = a$ A=a et d'un nombre de segments $c = 3$ c=3, ajoute à chaque tour $c \times \frac{a}{9 ^{k}}$ ctimesa/9^(k) puis multiplie $c$ c par 4 : les valeurs s'approchent de $1, 6 a$ 1,6a.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier que l'aire ajoutée à l'étape n dépend du nombre de segments de l'étape précédente.
Confondre la raison $\frac{4}{3}$ 4/3 du périmètre et la raison $\frac{4}{9}$ 4/9 des aires ajoutées.
Présenter la fractale sans aucun calcul : le jury attend la démonstration.

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