Question de mathsMathsTrigonométrie et phénomènes périodiques

Comment calculer une distance qu'on ne peut pas mesurer, grâce à la formule d'Al-Kashi ?

Q: Calculez l'angle d'un triangle de côtés 3, 5 et 7 opposé au côté 7.

$49=9+25-30cosθ$, donc $cosθ=-1/2$ et $θ=120°$.

Q: Comment retrouver Pythagore ?

Avec un angle droit, $cos90°=0$ : le terme correctif disparaît.

Q: Un triangle de côtés 4, 5 et 6 a-t-il un angle obtus ?

Pour l'angle opposé à 6 : $36=16+25-40cosθ$, $cosθ=1/8>0$. L'angle est aigu, donc tous les angles le sont.

Q: Peut-on calculer l'aire du triangle avec ces données ?

Oui : $mathcal A=1/2× BA× BC×sinB̂=1/2×5×8×sqrt3/2=10sqrt3≈17,3$ km².

Al-Kashi généralise Pythagore : a² = b² + c² − 2bc cos Â, démontrée en une ligne avec le produit scalaire. Un navire qui parcourt 5 km puis 8 km avec un angle de 60° entre les deux trajets se trouve à 7 km de son départ.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En voile, j'ai découvert qu'on calcule sa position en combinant des distances parcourues et des angles. Le théorème de Pythagore ne suffit plus quand l'angle n'est pas droit. La formule d'Al-Kashi, vue en première avec le produit scalaire, permet de tout calculer, et j'ai voulu montrer sa démonstration et son utilité.

L'enjeu et les notions du programme

Généraliser le théorème de Pythagore à tout triangle grâce au produit scalaire, et l'utiliser pour des calculs de distances.

Mathématiques

Produit scalaire : définition avec le cosinus, propriétés (première)
Développement $∥ u - v ∥^{2}$ ‖ vecteur u - vecteur v ‖² (première)
Formule d'Al-Kashi (première)
Valeurs remarquables du cosinus (première)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : quand l'angle n'est pas droit
1,5 min
Un navire part d'un port $A$ A, parcourt 5 km jusqu'à $B$ B, puis tourne et parcourt 8 km jusqu'à $C$ C, l'angle $A B C$ ABĈ valant 60°. Problématique : à quelle distance du port se trouve-t-il, alors que le triangle n'est pas rectangle ?
2. La formule et sa démonstration
3,5 min
Dans un triangle $A B C$ ABC, $A C = B C - B A$ vecteur AC = vecteur BC - vecteur BA. Donc $A C^{2} = ∥ B C - B A ∥^{2} = B C^{2} + B A^{2} - 2 B C \cdot B A$ AC²=‖ vecteur BC - vecteur BA ‖²=BC²+BA²-2 vecteur BC · vecteur BA.
Avec $B C \cdot B A = B C \times B A \times cos B$ vecteur BC · vecteur BA =BC× BA×cosB̂ : $A C^{2} = B A^{2} + B C^{2} - 2 B A \times B C cos B$ AC²=BA²+BC²-2 BA× BCcosB̂. C'est la formule d'Al-Kashi. Si $B = 90°$ B̂=90°, $cos B = 0$ cosB̂=0 et l'on retrouve Pythagore.
3. Application et interprétation
3,5 min
$A C^{2} = 25 + 64 - 2 \times 5 \times 8 \times \frac{1}{2} = 89 - 40 = 49$ AC²=25+64-2×5×8×1/2=89-40=49, donc $A C = 7$ AC=7 km. Joli résultat entier, calculable sans calculatrice.
Le terme $- 2 b c cos B$ -2bccosB̂ corrige Pythagore : si l'angle est aigu (cosinus positif), le troisième côté est plus court que l'hypoténuse d'un triangle rectangle ; s'il est obtus, plus long. Avec un angle de 120°, on obtiendrait $A C^{2} = 89 + 40 = 129$ AC²=89+40=129, soit environ 11,4 km. La formule permet aussi de calculer un angle connaissant les trois côtés.
4. Conclusion
1,5 min
La formule d'Al-Kashi, démontrée en une ligne par le produit scalaire, calcule n'importe quel côté d'un triangle à partir des deux autres et de l'angle qu'ils forment. Elle généralise Pythagore et sert en navigation, en topographie ou en astronomie. J'ouvre sur son auteur, le mathématicien persan Al-Kashi (XVᵉ siècle), aussi connu pour un calcul de $π$ π à 16 décimales.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

A C^{2} = B C - B A^{2} = B A^{2} + B C^{2} - 2 B A \times B C \times cos B AC²=bigl‖ vecteur BC - vecteur BA bigr‖²=BA²+BC²-2 BA\times BC\timescosB̂ A C^{2} = 5^{2} + 8^{2} - 2 \times 5 \times 8 \times cos 6 0^{\circ} = 25 + 64 - 40 = 49 \Rightarrow A C = 7 km AC²=5²+8²-2\times5\times8\timescos60°=25+64-40=49 \Rightarrow AC=7 km

Conclusion : la réponse à la question

Al-Kashi étend le théorème de Pythagore à tous les triangles : $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ a²=b²+c²-2bccosÂ. Le produit scalaire le démontre immédiatement, et il permet de calculer une distance inaccessible à partir de deux distances et d'un angle.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Calculez l'angle d'un triangle de côtés 3, 5 et 7 opposé au côté 7.

$49 = 9 + 25 - 30 cos θ$ 49=9+25-30cosθ, donc $cos θ = - \frac{1}{2}$ cosθ=-1/2 et $θ = 120°$ θ=120°.

Pourquoi

∥ u - v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} + ∥ v ∥^{2} - 2 u \cdot v

‖ vecteur u - vecteur v ‖²=‖ vecteur u ‖²+‖ vecteur v ‖²-2 vecteur u · vecteur v ?

Par bilinéarité et symétrie du produit scalaire, en développant (u − v)·(u − v).

Comment retrouver Pythagore ?

Avec un angle droit, $cos 90° = 0$ cos90°=0 : le terme correctif disparaît.

Un triangle de côtés 4, 5 et 6 a-t-il un angle obtus ?

Pour l'angle opposé à 6 : $36 = 16 + 25 - 40 cos θ$ 36=16+25-40cosθ, $cos θ = \frac{1}{8} > 0$ cosθ=1/8>0. L'angle est aigu, donc tous les angles le sont.

En navigation, que faut-il mesurer en pratique ?

Les distances parcourues (vitesse et durée) et les caps, d'où l'on déduit les angles entre les trajets.

Peut-on calculer l'aire du triangle avec ces données ?

Oui : $A = \frac{1}{2} \times B A \times B C \times sin B = \frac{1}{2} \times 5 \times 8 \times \frac{3}{2} = 103 \approx 17, 3$ mathcal A=1/2× BA× BC×sinB̂=1/2×5×8×sqrt3/2=10sqrt3≈17,3 km².

Les pièges qui coûtent des points

Oublier le facteur 2 ou le signe moins.
Utiliser un angle qui n'est pas compris entre les deux côtés connus.
Confondre l'angle et son supplémentaire (cos 60° et cos 120°).

Revoir les notions

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