Pourquoi ne peut-on pas remplacer directement $h$ par 0 ?

Dans $(d(t+h)-d(t))/h$, on obtiendrait $0/0$, qui n'a pas de sens. Il faut d'abord simplifier par $h≠0$, puis étudier la limite de l'expression obtenue.

Question de mathsMathsL'infini, les suites et les limites

Pourquoi a-t-on besoin de la notion de limite pour parler de vitesse instantanée ?

Q: Une fonction peut-elle ne pas avoir de nombre dérivé en un point ?

Oui : la valeur absolue en 0. Le taux $|h|/h$ vaut 1 si $h>0$ et $-1$ si $h<0$ : il n'a pas de limite. La courbe a un « angle » en 0.

Q: Que représente la dérivée de la vitesse ?

L'accélération. Ici $v'(t)=10$ m/s², valeur approchée de l'accélération de la pesanteur $g≈9,8$ m/s².

Q: Quelle est l'équation de la tangente à la courbe de d en t = 2 ?

$y=d'(2)(t-2)+d(2)=20(t-2)+20=20t-20$.

Q: Comment un compteur de vitesse calcule-t-il la vitesse ?

Il mesure une distance (des tours de roue) sur une durée très courte : il affiche une vitesse moyenne sur un petit intervalle, qui est une approximation de la vitesse instantanée.

La vitesse instantanée est la limite des vitesses moyennes sur des durées de plus en plus courtes : c'est la définition du nombre dérivé, et elle seule lève le paradoxe du « temps nul ».

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Le compteur d'une voiture affiche une vitesse « à l'instant présent ». Pourtant, pendant un instant de durée nulle, la voiture ne parcourt aucune distance : on obtient $\frac{0}{0}$ 0/0. Ce paradoxe m'a intrigué, et c'est en étudiant le nombre dérivé que j'ai compris comment les mathématiques le résolvent.

L'enjeu et les notions du programme

Définir rigoureusement un taux de variation instantané : le nombre dérivé comme limite du taux d'accroissement, fondement de tout le calcul différentiel.

Mathématiques

Taux de variation et nombre dérivé comme limite (première)
Tangente à une courbe (première)
Limite d'une fonction en un point (terminale)
Dérivées des fonctions usuelles (première)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : le paradoxe du temps nul
1,5 min
Je pose le paradoxe : une vitesse est une distance divisée par une durée ; à un instant précis, la durée est nulle. Problématique : comment donner un sens à la vitesse « à l'instant $t$ t » ?
2. Des vitesses moyennes de plus en plus fines
3,5 min
Exemple : un objet lâché sans vitesse parcourt $d (t) = 5 t^{2}$ d(t)=5t² mètres en $t$ t secondes (valeur approchée de $\frac{1}{2} g t^{2}$ 1/2gt²). Entre $t$ t et $t + h$ t+h, la vitesse moyenne vaut $\frac{d ( t + h ) - d ( t )}{h} = \frac{5 ( 2 t h + h ^{2} )}{h} = 10 t + 5 h$ (d(t+h)-d(t))/h=(5(2th+h²))/h=10t+5h.
Pour $t = 2$ t=2 : sur $h = 1$ h=1 s, 25 m/s ; sur $h = 0, 1$ h=0,1 s, 20,5 m/s ; sur $h = 0, 01$ h=0,01 s, 20,05 m/s. Les valeurs se rapprochent de 20 m/s. On ne pose jamais $h = 0$ h=0 : on simplifie d'abord par $h$ h, puis on fait tendre $h$ h vers 0.
3. La limite : le nombre dérivé
3,5 min
On définit la vitesse instantanée comme la limite $v (t) = lim_{h \to 0} \frac{d ( t + h ) - d ( t )}{h} = d^{'} (t)$ v(t)=lim_h→0(d(t+h)-d(t))/h=d'(t). Ici $v (t) = 10 t$ v(t)=10t, donc 20 m/s à $t = 2$ t=2.
Graphiquement, la vitesse moyenne est la pente d'une sécante ; quand $h \to 0$ h→0, la sécante tend vers la tangente, dont la pente est le nombre dérivé. Newton et Leibniz manipulaient des quantités « infiniment petites » ; c'est la notion de limite, formalisée au XIXᵉ siècle, qui a rendu ce calcul rigoureux.
4. Conclusion
1,5 min
La vitesse instantanée n'est pas une division par zéro, c'est une limite de quotients. Cette idée fonde le calcul différentiel, utilisé partout où l'on étudie un taux de variation : vitesse, débit, coût marginal, croissance d'une population. J'ouvre sur l'opération inverse, l'intégrale, qui reconstitue la distance à partir de la vitesse.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

\frac{d ( t + h ) - d ( t )}{h} = \frac{5 ( t + h ) ^{2} - 5 t ^{2}}{h} = 10 t + 5 h h \to 0 10 t (d(t+h)-d(t))/h=(5(t+h)²-5t²)/h=10t+5h \to 10t t = 2 : h = 1 \to 25, h = 0, 1 \to 20, 5, h = 0, 01 \to 20, 05 ⟹ v (2) = 20 m/s t=2: h=1\to25, h=0,1\to20,5, h=0,01\to20,05 \Rightarrow v(2)=20 m/s

Conclusion : la réponse à la question

On a besoin de la limite parce que la vitesse instantanée est la valeur vers laquelle tendent les vitesses moyennes quand la durée tend vers 0, sans jamais l'atteindre. C'est exactement la définition du nombre dérivé, et elle résout le paradoxe du $\frac{0}{0}$ 0/0.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Une fonction peut-elle ne pas avoir de nombre dérivé en un point ?

Oui : la valeur absolue en 0. Le taux $\frac{∣ h ∣}{h}$ |h|/h vaut 1 si $h > 0$ h>0 et $- 1$ -1 si $h < 0$ h<0 : il n'a pas de limite. La courbe a un « angle » en 0.

Que représente la dérivée de la vitesse ?

L'accélération. Ici $v^{'} (t) = 10$ v'(t)=10 m/s², valeur approchée de l'accélération de la pesanteur $g \approx 9, 8$ g≈9,8 m/s².

Quelle est l'équation de la tangente à la courbe de d en t = 2 ?

$y = d^{'} (2) (t - 2) + d (2) = 20 (t - 2) + 20 = 20 t - 20$ y=d'(2)(t-2)+d(2)=20(t-2)+20=20t-20.

Comment un compteur de vitesse calcule-t-il la vitesse ?

Il mesure une distance (des tours de roue) sur une durée très courte : il affiche une vitesse moyenne sur un petit intervalle, qui est une approximation de la vitesse instantanée.

Pourquoi ne peut-on pas remplacer directement

h

h par 0 ?

Dans $\frac{d ( t + h ) - d ( t )}{h}$ (d(t+h)-d(t))/h, on obtiendrait $\frac{0}{0}$ 0/0, qui n'a pas de sens. Il faut d'abord simplifier par $h \neq = 0$ h≠0, puis étudier la limite de l'expression obtenue.

Les pièges qui coûtent des points

Dire que la vitesse instantanée est « la distance parcourue en un instant ».
Remplacer $h$ h par 0 avant d'avoir simplifié.
Confondre la pente d'une sécante (vitesse moyenne) et celle de la tangente (vitesse instantanée).

Revoir les notions

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