Démontrez que $(ln x)/( √x )→0$.

$(ln x)/( √x )=(2ln √x )/( √x )=2×(ln X)/X$ avec $X= √x →+∞$, qui tend vers 0.

Question de mathsMathsExponentielle et logarithme

Le logarithme tend vers l'infini : pourquoi croît-il pourtant si lentement ?

Q: Une fonction croissante qui tend vers +∞ a-t-elle forcément une dérivée qui ne tend pas vers 0 ?

Non : $ln$ en est le contre-exemple, sa dérivée $1/x$ tend vers 0. De même, $ √x $ tend vers $+∞$ avec une dérivée $1/(2 √x )→0$.

Q: Pourquoi ln est-elle concave ?

Sa dérivée seconde vaut $-1/x²<0$ : la dérivée est décroissante, la courbe est sous ses tangentes.

Q: Résolvez $ln x>100$.

$x>e¹⁰⁰$, un nombre de 44 chiffres ($100log₁₀e≈43,4$).

ln x tend vers +∞, mais ln(10⁹) ≈ 20,7 : il faut multiplier x par e ≈ 2,72 pour gagner 1. Sa dérivée 1/x tend vers 0 et ln x / x → 0, ce qui explique cette lenteur.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En traçant la courbe du logarithme à la calculatrice sur $[0; 1000]$ [0;1000], je l'ai trouvée presque horizontale et j'ai cru qu'elle avait une asymptote. Le cours dit pourtant que $ln x \to + \infty$ ln x→+∞. J'ai voulu concilier ces deux faits, en comprenant ce que veut dire « tendre vers l'infini lentement ».

L'enjeu et les notions du programme

Comprendre précisément ce qu'est une limite infinie, et la différencier d'une croissance rapide ; utiliser la dérivée et les croissances comparées pour décrire une vitesse de croissance.

Mathématiques

Fonction logarithme népérien : variations, limites, $ln^{'} (x) = \frac{1}{x}$ ln'(x)=1/x (terminale)
Croissances comparées : $lim \frac{l n x}{x} = 0$ lim(ln x)/x=0 (terminale)
Définition de la limite infinie d'une fonction (terminale)
Concavité (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : une courbe qui semble plafonner
1,5 min
Je montre quelques valeurs : $ln 10 \approx 2, 3$ ln10≈2,3, $ln 1000 \approx 6, 9$ ln1 000≈6,9, $ln 1 0^{9} \approx 20, 7$ ln10⁹≈20,7. Problématique : comment une fonction qui tend vers l'infini peut-elle être si lente, et comment le mesurer ?
2. Le logarithme tend bien vers +∞
3 min
Définition : $ln x \to + \infty$ ln x→+∞ si, pour tout réel $A$ A, on a $ln x > A$ ln x>A dès que $x$ x est assez grand. Ici, $ln x > A ⟺ x > e^{A}$ ln x>A⇔ x>e^(A) : le seuil existe toujours. Il n'y a donc pas d'asymptote horizontale.
Mais ce seuil est gigantesque : pour dépasser 20, il faut $x > e^{20} \approx 4, 9 \times 1 0^{8}$ x>e²⁰≈4,9×10⁸. Chaque unité gagnée demande de multiplier $x$ x par $e \approx 2, 72$ e≈2,72 : c'est la propriété $ln (e x) = ln x + 1$ ln(ex)=ln x+1.
3. Mesurer la lenteur
4 min
La dérivée $ln^{'} (x) = \frac{1}{x}$ ln'(x)=1/x tend vers 0 : la pente de la courbe devient de plus en plus faible. À $x = 1000$ x=1 000, la tangente a une pente de $0, 001$ 0,001 : la courbe paraît plate.
Plus fort : $\frac{l n x}{x} \to 0$ (ln x)/x→0. Avec $x = e^{t}$ x=e^(t), $\frac{l n x}{x} = \frac{t}{e ^{t}} \to 0$ (ln x)/x=t/e^(t)→0. Le logarithme est battu par toute fonction affine, et même par $x$ √x : $\frac{l n x}{x} \to 0$ (ln x)/( √x )→0.
Enfin, $ln$ ln est concave : sa courbe est sous ses tangentes, et la croissance ralentit constamment.
4. Conclusion
1,5 min
Le logarithme tend vers l'infini, mais en ajoutant 1 chaque fois que l'on multiplie par $e$ e : il transforme une croissance exponentielle de $x$ x en croissance linéaire. Sa dérivée $\frac{1}{x}$ 1/x tend vers 0, ce qui explique l'impression de plafond. J'ouvre sur la somme harmonique, qui croît comme $ln n$ ln n : 12 367 termes pour dépasser 10.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

ln x > A ⟺ x > e^{A} ln (1 0^{9}) = 9 ln 10 \approx 20, 7 ln x>A\Leftrightarrow x>e^(A) ln(10⁹)=9ln10\approx20,7 ln (e x) = ln x + 1 ln^{'} (x) = \frac{1}{x} x \to + \infty 0 ln(ex)=ln x+1 ln'(x)=1/x \to 0 \frac{ln x}{x} = \frac{t}{e ^{t}} (x = e^{t}) x \to + \infty 0 (ln x)/x=t/e^(t) (x=e^(t)) \to 0

Conclusion : la réponse à la question

Tendre vers l'infini ne veut pas dire croître vite. Le logarithme dépasse tout nombre, mais il lui faut des $x$ x gigantesques : c'est l'inverse exact de l'exponentielle, qui transforme les additions en multiplications.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Une fonction croissante qui tend vers +∞ a-t-elle forcément une dérivée qui ne tend pas vers 0 ?

Non : $ln$ ln en est le contre-exemple, sa dérivée $\frac{1}{x}$ 1/x tend vers 0. De même, $x$ √x tend vers $+ \infty$ +∞ avec une dérivée $\frac{1}{2 x} \to 0$ 1/(2 √x )→0.

Démontrez que

\frac{l n x}{x} \to 0

(ln x)/( √x )→0.

$\frac{l n x}{x} = \frac{2 l n x}{x} = 2 \times \frac{l n X}{X}$ (ln x)/( √x )=(2ln √x )/( √x )=2×(ln X)/X avec $X = x \to + \infty$ X= √x →+∞, qui tend vers 0.

Pourquoi ln est-elle concave ?

Sa dérivée seconde vaut $- \frac{1}{x ^{2}} < 0$ -1/x²<0 : la dérivée est décroissante, la courbe est sous ses tangentes.

Résolvez

ln x > 100

ln x>100.

$x > e^{100}$ x>e¹⁰⁰, un nombre de 44 chiffres ( $100 lo g_{10} e \approx 43, 4$ 100log₁₀e≈43,4).

Où rencontre-t-on des croissances logarithmiques ?

Dans la somme harmonique, dans le nombre d'étapes d'une recherche par dichotomie (de l'ordre de log₂ n) ou dans la sensation auditive, qui suit approximativement le logarithme de l'intensité.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre « croît lentement » et « est bornée ».
Croire qu'une courbe d'allure horizontale à l'écran a forcément une asymptote.
Écrire $ln (x + 1) = ln x + 1$ ln(x+1)=ln x+1 : la bonne propriété est $ln (e x) = ln x + 1$ ln(ex)=ln x+1.

Revoir les notions

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