Encadrez $ln2$ avec la méthode des trapèzes à un seul trapèze.

Un trapèze entre 1 et 2 a pour aire $(1+1/2)/2=0,75$. Comme $1/t$ est convexe, la corde est au-dessus de la courbe : $ln2<0,75$.

Question de mathsMathsIntégration

Le logarithme peut-il se définir comme une aire ?

Q: Démontrez $∫ₐ^(ab)dt/t=ln b$ avec les primitives.

$∫ₐ^(ab)dt/t=ln(ab)-ln a=ln b$, en utilisant la propriété. Inversement, l'égalité des aires (admise géométriquement) redonne la propriété.

Q: Comment encadrer ln 3 ?

Sur $[1;3]$, $1/3≤1/t≤1$, donc $2/3≤ln3≤2$ ; plus finement, $ln3=ln2+∫₂³dt/t$ avec $1/3≤∫₂³dt/t≤1/2$.

Q: Pourquoi l'aire entre 1 et 2ⁿ vaut-elle n ln 2 ?

Par la propriété $ln(2ⁿ)=nln2$ : on cumule $n$ bandes $[2^(k);2^(k+1)]$ d'aire $ln2$ chacune.

Q: Que vaut l'aire sous l'hyperbole entre 0 et 1 ?

Elle est infinie : $∫ₓ¹dt/t=-ln x→+∞$ quand $x→0$.

Q: Comment définit-on e avec cette approche ?

C'est l'unique réel tel que $∫₁ᵉdt/t=1$. On peut l'encadrer : l'aire entre 1 et 2 vaut moins de 1, entre 1 et 3 plus de 1, donc $2<e<3$.

ln x est l'aire sous l'hyperbole y = 1/t entre 1 et x ; cette définition explique ln(ab) = ln a + ln b et permet d'encadrer ln 2 entre 0,5 et 1, puis de l'approcher à 0,693 par les trapèzes.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En cours, le logarithme a été défini comme la réciproque de l'exponentielle. Dans un livre d'histoire des mathématiques, j'ai lu qu'au XVIIᵉ siècle, on l'avait découvert en étudiant l'aire sous une hyperbole. J'ai voulu montrer que les deux points de vue sont équivalents, et ce que l'aire apporte.

L'enjeu et les notions du programme

Relier deux définitions d'une même fonction (réciproque de l'exponentielle, fonction aire) et utiliser l'intégrale pour encadrer et calculer.

Mathématiques

Logarithme népérien, dérivée $\frac{1}{x}$ 1/x (terminale)
Fonction intégrale et primitive (terminale)
Méthodes des rectangles et des trapèzes (terminale)
Propriétés algébriques du logarithme (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : deux définitions
1,5 min
Le cours définit $ln$ ln comme la réciproque de $exp$ exp. Historiquement, on a d'abord étudié l'aire sous l'hyperbole $y = \frac{1}{t}$ y=1/t. Problématique : ces deux approches définissent-elles la même fonction, et que nous apprend l'aire ?
2. L'aire est le logarithme
3 min
On pose $L (x) = \int_{1}^{x} \frac{d t}{t}$ L(x)=∫₁^(x)dt/t pour $x > 0$ x>0. Par le théorème fondamental, $L^{'} (x) = \frac{1}{x}$ L'(x)=1/x, et $L (1) = 0$ L(1)=0.
Or $ln$ ln a aussi pour dérivée $\frac{1}{x}$ 1/x et vaut 0 en 1. Deux fonctions de même dérivée sur un intervalle diffèrent d'une constante, ici nulle : $L = ln$ L=ln. Le logarithme est bien l'aire sous l'hyperbole.
3. Ce que l'aire apporte
4 min
Encadrer $ln 2$ ln2 : sur $[1; 2]$ [1;2], $\frac{1}{2} \leq \frac{1}{t} \leq 1$ 1/2≤1/t≤1, donc $\frac{1}{2} \leq ln 2 \leq 1$ 1/2≤ln2≤1. Avec deux rectangles : $0, 58 \leq ln 2 \leq 0, 83$ 0,58≤ln2≤0,83. La méthode des trapèzes avec 10 trapèzes donne $0, 6938$ 0,6938, pour une valeur exacte $0, 6931$ 0,6931.
La propriété $ln (ab) = ln a + ln b$ ln(ab)=ln a+ln b s'interprète géométriquement : l'aire sous l'hyperbole entre $a$ a et $ab$ ab est la même qu'entre 1 et $b$ b, car étirer horizontalement par $a$ a et comprimer verticalement par $a$ a conserve les aires.
Enfin, $ln x \to + \infty$ ln x→+∞ se voit sur l'aire : entre 1 et $2^{n}$ 2ⁿ, on cumule $n$ n aires égales à $ln 2$ ln2.
4. Conclusion
1,5 min
Oui : le logarithme est exactement l'aire sous l'hyperbole entre 1 et $x$ x, ce que prouve l'égalité des dérivées. Ce point de vue permet d'encadrer ses valeurs et d'interpréter ses propriétés. J'ouvre sur la constante $e$ e, définie comme l'abscisse pour laquelle cette aire vaut 1.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

ln x = \int_{1}^{x} \frac{d t}{t} (\int_{1}^{x} \frac{d t}{t})^{'} = \frac{1}{x} = ln^{'} (x) ln x=\int₁^(x)dt/t (\int₁^(x)dt/t)'=1/x=ln'(x) \frac{1}{2} \leq ln 2 \leq 1 trap \overset{e}{ˋ} zes (n = 10) : ln 2 \approx 0, 6938 (exact 0, 6931) 1/2\leqln2\leq1 trapèzes (n=10) : ln2\approx0,6938 ( exact 0,6931) \int_{a}^{ab} \frac{d t}{t} = \int_{1}^{b} \frac{d t}{t} \Rightarrow ln (ab) = ln a + ln b \intₐ^(ab)dt/t=\int₁^(b)dt/t \Rightarrow ln(ab)=ln a+ln b

Conclusion : la réponse à la question

Le logarithme se définit comme l'aire sous l'hyperbole, et cette définition coïncide avec celle du cours car les deux fonctions ont la même dérivée et la même valeur en 1. L'aire donne des encadrements numériques et une lecture géométrique des propriétés du logarithme.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Démontrez

\int_{a}^{ab} \frac{d t}{t} = ln b

∫ₐ^(ab)dt/t=ln b avec les primitives.

$\int_{a}^{ab} \frac{d t}{t} = ln (ab) - ln a = ln b$ ∫ₐ^(ab)dt/t=ln(ab)-ln a=ln b, en utilisant la propriété. Inversement, l'égalité des aires (admise géométriquement) redonne la propriété.

Comment encadrer ln 3 ?

Sur $[1; 3]$ [1;3], $\frac{1}{3} \leq \frac{1}{t} \leq 1$ 1/3≤1/t≤1, donc $\frac{2}{3} \leq ln 3 \leq 2$ 2/3≤ln3≤2 ; plus finement, $ln 3 = ln 2 + \int_{2}^{3} \frac{d t}{t}$ ln3=ln2+∫₂³dt/t avec $\frac{1}{3} \leq \int_{2}^{3} \frac{d t}{t} \leq \frac{1}{2}$ 1/3≤∫₂³dt/t≤1/2.

Pourquoi l'aire entre 1 et 2ⁿ vaut-elle n ln 2 ?

Par la propriété $ln (2^{n}) = n ln 2$ ln(2ⁿ)=nln2 : on cumule $n$ n bandes $[2^{k}; 2^{k + 1}]$ [2^(k);2^(k+1)] d'aire $ln 2$ ln2 chacune.

Que vaut l'aire sous l'hyperbole entre 0 et 1 ?

Elle est infinie : $\int_{x}^{1} \frac{d t}{t} = - ln x \to + \infty$ ∫ₓ¹dt/t=-ln x→+∞ quand $x \to 0$ x→0.

Comment définit-on e avec cette approche ?

C'est l'unique réel tel que $\int_{1}^{e} \frac{d t}{t} = 1$ ∫₁ᵉdt/t=1. On peut l'encadrer : l'aire entre 1 et 2 vaut moins de 1, entre 1 et 3 plus de 1, donc $2 < e < 3$ 2<e<3.

Encadrez

ln 2

ln2 avec la méthode des trapèzes à un seul trapèze.

Un trapèze entre 1 et 2 a pour aire $\frac{1 + \frac{1}{2}}{2} = 0, 75$ (1+1/2)/2=0,75. Comme $\frac{1}{t}$ 1/t est convexe, la corde est au-dessus de la courbe : $ln 2 < 0, 75$ ln2<0,75.

Les pièges qui coûtent des points

Dire que les deux définitions sont « évidemment » les mêmes sans argument.
Oublier la condition x > 0.
Se tromper de sens dans l'encadrement (1/t est décroissante).

Revoir les notions

Autres questions : intégration

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