Vérifiez l'identité $(x²+a²)(x²+b²)=(x²+ab)²+x²(b-a)²$.

À gauche : $x⁴+(a²+b²)x²+a²b²$. À droite : $x⁴+2abx²+a²b²+(b²-2ab+a²)x²$, qui donne la même expression.

Question de mathsMathsDérivation et optimisation

À quelle distance faut-il se placer pour voir un tableau sous le plus grand angle ?

Q: Pourquoi minimiser cos θ revient-il à maximiser θ ?

Parce que le cosinus est strictement décroissant sur $]0;fracπ2[$ et que l'angle de vision y reste ; et $cosθ>0$ permet de raisonner sur $cos²θ$.

Q: Que se passe-t-il si le bas du tableau est à hauteur des yeux (a = 0) ?

$tanθ=b/x$ est décroissante : il faut s'approcher le plus possible, l'angle tend vers 90°.

Q: Quelle distance pour un tableau entre 2 m et 8 m au-dessus des yeux ?

$√(2×8)=4$ m. Alors $1/cos²θ=1+36×(4/32)²=25/16$, donc $cosθ=4/5$, soit environ 37°.

Q: Peut-on éviter la dérivée ?

Oui : $(x²+ab)/x=x+ab/x≥2√(ab)$ par l'inégalité entre moyennes, avec égalité pour $x=√(ab)$. Minimiser cette expression revient à maximiser $g$.

Un tableau accroché entre 1 m et 3 m au-dessus des yeux est vu sous un angle maximal à √3 ≈ 1,73 m du mur, où l'angle vaut 30° : la moyenne géométrique des deux hauteurs, obtenue par la dérivation.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Dans un musée, j'ai remarqué que je reculais et avançais devant un grand tableau accroché haut, sans trouver la bonne place. Trop près, il est vu en raccourci ; trop loin, il est petit. Ce problème, posé par Regiomontanus au XVᵉ siècle, se résout avec la trigonométrie et la dérivation.

L'enjeu et les notions du programme

Combiner trigonométrie et dérivation pour résoudre un problème d'optimisation géométrique, et interpréter le résultat comme une moyenne géométrique.

Mathématiques

Cosinus d'un angle et décroissance du cosinus sur [0 ; π] (première)
Produit scalaire : $u \cdot v = ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ$ vecteur u · vecteur v =‖ vecteur u ‖ ‖ vecteur v ‖cosθ, expression en repère orthonormé (première)
Dérivée d'un quotient et extremum (première)
Croissance d'une fonction composée (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : le problème de Regiomontanus
1,5 min
Le bas du tableau est à $a = 1$ a=1 m au-dessus des yeux, le haut à $b = 3$ b=3 m. L'observateur se tient à une distance $x$ x du mur. Problématique : pour quelle distance l'angle sous lequel il voit le tableau est-il maximal ?
2. Exprimer l'angle
3,5 min
On place l'œil en $E (0; 0)$ E(0;0), le bas du tableau en $A (x; a)$ A(x;a), le haut en $B (x; b)$ B(x;b). L'angle de vision $θ$ θ est l'angle entre $E A$ vecteur EA et $E B$ vecteur EB. Le produit scalaire donne $x^{2} + ab = E A \times E B \times cos θ$ x²+ab=EA× EB×cosθ, avec $E A^{2} = x^{2} + a^{2}$ EA²=x²+a² et $E B^{2} = x^{2} + b^{2}$ EB²=x²+b².
On vérifie en développant l'identité $(x^{2} + a^{2}) (x^{2} + b^{2}) = (x^{2} + ab)^{2} + x^{2} (b - a)^{2}$ (x²+a²)(x²+b²)=(x²+ab)²+x²(b-a)². Elle donne $\frac{1}{c o s ^{2} θ} = 1 + (b - a)^{2} (\frac{x}{x ^{2} + ab})^{2}$ 1/cos²θ=1+(b-a)²(x/(x²+ab))².
Comme $θ \in] 0; \frac{π}{2} [$ θ∈]0;fracπ2[, l'angle est maximal quand $cos θ$ cosθ est minimal, donc quand $g (x) = \frac{x}{x ^{2} + ab}$ g(x)=x/(x²+ab) est maximal.
3. Maximiser et interpréter
3,5 min
$g^{'} (x) = \frac{( x ^{2} + ab ) - x \times 2 x}{( x ^{2} + ab ) ^{2}} = \frac{ab - x ^{2}}{( x ^{2} + ab ) ^{2}}$ g'(x)=((x²+ab)-x×2x)/((x²+ab)²)=(ab-x²)/((x²+ab)²), positive pour $x < ab$ x<√(ab), négative ensuite. La meilleure distance est $x = ab$ x=√(ab) : la moyenne géométrique des deux hauteurs.
Avec $a = 1$ a=1 et $b = 3$ b=3 : $x = 3 \approx 1, 73$ x=sqrt3≈1,73 m, $g (3) = \frac{3}{6}$ g(sqrt3)=sqrt3/6, donc $\frac{1}{c o s ^{2} θ} = 1 + 4 \times \frac{3}{36} = \frac{4}{3}$ 1/cos²θ=1+4×3/36=4/3, $cos θ = \frac{3}{2}$ cosθ=sqrt3/2 et $θ = 30°$ θ=30°. Valeur remarquable, calculable sans calculatrice.
4. Conclusion
1,5 min
Il faut se placer à la distance $ab$ √(ab) du mur, moyenne géométrique des hauteurs du bas et du haut du tableau par rapport aux yeux. Le problème montre comment la trigonométrie et la dérivation se complètent. J'ouvre sur une application sportive : le meilleur endroit pour tirer une transformation au rugby se calcule de la même façon.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

E A \cdot E B = x^{2} + ab = x^{2} + a^{2} x^{2} + b^{2} cos θ vecteur EA \cdot vecteur EB =x²+ab=\sqrt(x²+a²) \sqrt(x²+b²) cosθ \frac{1}{cos ^{2} θ} = 1 + (b - a)^{2} (\frac{x}{x ^{2} + ab})^{2} 1/cos²θ=1+(b-a)²(x/(x²+ab))² g (x) = \frac{x}{x ^{2} + ab}, g^{'} (x) = \frac{ab - x ^{2}}{( x ^{2} + ab ) ^{2}} \Rightarrow x = ab g(x)=x/(x²+ab), g'(x)=(ab-x²)/((x²+ab)²) \Rightarrow x=\sqrt(ab) a = 1, b = 3 : x = 3 \approx 1, 73 m, cos θ = \frac{3}{2} \Rightarrow θ = 3 0^{\circ} a=1, b=3 : x=sqrt3\approx1,73 m , cosθ=sqrt3/2 \Rightarrow θ=30°

Conclusion : la réponse à la question

La meilleure distance pour voir un tableau est la moyenne géométrique $ab$ √(ab) des hauteurs de son bas et de son haut au-dessus des yeux. On l'obtient avec le produit scalaire, qui relie l'angle de vision aux coordonnées, puis en dérivant un quotient.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Vérifiez l'identité

(x^{2} + a^{2}) (x^{2} + b^{2}) = (x^{2} + ab)^{2} + x^{2} (b - a)^{2}

(x²+a²)(x²+b²)=(x²+ab)²+x²(b-a)².

À gauche : $x^{4} + (a^{2} + b^{2}) x^{2} + a^{2} b^{2}$ x⁴+(a²+b²)x²+a²b². À droite : $x^{4} + 2 ab x^{2} + a^{2} b^{2} + (b^{2} - 2 ab + a^{2}) x^{2}$ x⁴+2abx²+a²b²+(b²-2ab+a²)x², qui donne la même expression.

Pourquoi minimiser cos θ revient-il à maximiser θ ?

Parce que le cosinus est strictement décroissant sur $] 0; \frac{π}{2} [$ ]0;fracπ2[ et que l'angle de vision y reste ; et $cos θ > 0$ cosθ>0 permet de raisonner sur $cos^{2} θ$ cos²θ.

Que se passe-t-il si le bas du tableau est à hauteur des yeux (a = 0) ?

$tan θ = \frac{b}{x}$ tanθ=b/x est décroissante : il faut s'approcher le plus possible, l'angle tend vers 90°.

Quelle distance pour un tableau entre 2 m et 8 m au-dessus des yeux ?

$2 \times 8 = 4$ √(2×8)=4 m. Alors $\frac{1}{c o s ^{2} θ} = 1 + 36 \times (\frac{4}{32})^{2} = \frac{25}{16}$ 1/cos²θ=1+36×(4/32)²=25/16, donc $cos θ = \frac{4}{5}$ cosθ=4/5, soit environ 37°.

Peut-on éviter la dérivée ?

Oui : $\frac{x ^{2} + ab}{x} = x + \frac{ab}{x} \geq 2 ab$ (x²+ab)/x=x+ab/x≥2√(ab) par l'inégalité entre moyennes, avec égalité pour $x = ab$ x=√(ab). Minimiser cette expression revient à maximiser $g$ g.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre l'angle de vision avec l'angle d'élévation du haut du tableau.
Oublier de justifier le passage de l'angle à son cosinus.
Mesurer les hauteurs depuis le sol au lieu des yeux.

Revoir les notions

Autres questions : dérivation et optimisation

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