Question de mathsMathsRaisonnement et algorithmes

Comment tracer la courbe d'une fonction dont on ne connaît que la dérivée ?

Q: Calculez à la main l'approximation avec n = 2.

$h=0,5$ : $y₁=1,5$, $y₂=1,5²=2,25$.

Q: Que donne la méthode avec un pas négatif ?

$h=-1/n$ donne $f(-1)≈(1-1/n)ⁿ$, qui tend vers $e⁻¹$.

Q: Combien de pas pour une erreur inférieure à 0,01 ?

L'erreur vaut environ $e/2n$ : il faut $n$ de l'ordre de 136 (on obtient $0,0135$ pour $n=100$).

Q: Peut-on appliquer la méthode à f' = 2f ?

Oui : $yₖ₊₁=yₖ(1+2h)$, qui approche $e^(2x)$. La méthode vaut pour toute équation $y'=F(x,y)$.

Q: Quel lien avec les intérêts composés ?

Placer 1 € à 100 % par an, capitalisé $n$ fois, rapporte $(1+1/n)ⁿ$ : la limite $e$ correspond à une capitalisation continue.

En avançant par petits pas le long de la tangente, la méthode d'Euler appliquée à f' = f, f(0) = 1 donne f(1) ≈ (1 + 1/n)ⁿ : 2,59 pour 10 pas, 2,705 pour 100, et la limite est e.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En première, on m'a présenté l'exponentielle comme « la fonction égale à sa dérivée et qui vaut 1 en 0 ». Je ne voyais pas comment on pouvait tracer sa courbe sans formule. Avec la méthode d'Euler, on la construit pas à pas, avec seulement la tangente. J'ai programmé l'algorithme en Python et vu apparaître le nombre $e$ e : j'ai voulu expliquer d'où il sort.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser l'approximation affine d'une fonction par sa tangente, programmer une méthode itérative, et relier le résultat à une limite de suite.

Mathématiques

Approximation affine : $f (a + h) \approx f (a) + h f^{'} (a)$ f(a+h)≈ f(a)+hf'(a) (première)
Construction de l'exponentielle par la méthode d'Euler (première)
Suites géométriques, algorithmique en Python (première)
Limite $(1 + \frac{1}{n})^{n} \to e$ (1+1/n)ⁿ→ e via le logarithme (terminale)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction : connaître une pente sans connaître la courbe
1,5 min
On cherche $f$ f telle que $f^{'} = f$ f'=f et $f (0) = 1$ f(0)=1. On connaît en chaque point la pente de la tangente, mais pas la courbe. Problématique : comment construire une approximation de la courbe à partir de cette seule information ?
2. Le principe : suivre la tangente par petits pas
3 min
Pour $h$ h petit, $f (x + h) \approx f (x) + h f^{'} (x)$ f(x+h)≈ f(x)+h f'(x). Avec $f^{'} = f$ f'=f, on obtient $f (x + h) \approx f (x) (1 + h)$ f(x+h)≈ f(x)(1+h). On part de $y_{0} = 1$ y₀=1 et on pose $y_{k + 1} = y_{k} (1 + h)$ yₖ₊₁=yₖ(1+h) : la suite $(y_{k})$ (yₖ) est géométrique de raison $1 + h$ 1+h, donc $y_{k} = (1 + h)^{k}$ yₖ=(1+h)^(k).
En Python : une boucle for qui répète y = y * (1 + h) et x = x + h, en mémorisant les points dans deux listes pour tracer la ligne brisée.
3. Approcher e = f(1)
3,5 min
Pour atteindre $x = 1$ x=1 en $n$ n pas, on prend $h = \frac{1}{n}$ h=1/n : $f (1) \approx (1 + \frac{1}{n})^{n}$ f(1)≈(1+1/n)ⁿ. Les valeurs : $2$ 2 pour $n = 1$ n=1, $2, 25$ 2,25 pour $n = 2$ n=2, $2, 594$ 2,594 pour $n = 10$ n=10, $2, 705$ 2,705 pour $n = 100$ n=100, $2, 717$ 2,717 pour $n = 1000$ n=1 000. Elles approchent $e \approx 2, 718$ e≈2,718 par défaut : l'erreur est de l'ordre de $\frac{e}{2 n}$ e/2n, divisée par 10 quand on multiplie $n$ n par 10.
En terminale, on prouve la limite : $ln (1 + \frac{1}{n})^{n} = n ln (1 + \frac{1}{n}) = \frac{l n ( 1 + h ) - l n 1}{h}$ ln(1+1/n)ⁿ=nln(1+1/n)=(ln(1+h)-ln1)/h avec $h = \frac{1}{n}$ h=1/n, qui tend vers $ln^{'} (1) = 1$ ln'(1)=1. Donc $(1 + \frac{1}{n})^{n} \to e^{1} = e$ (1+1/n)ⁿ→ e¹=e.
Les valeurs sont inférieures à $e$ e car la courbe de l'exponentielle est convexe : elle est au-dessus de ses tangentes.
4. Conclusion
1,5 min
La méthode d'Euler trace la courbe d'une fonction connue par sa dérivée en suivant la tangente par petits pas. Pour l'exponentielle, elle fait apparaître $(1 + \frac{1}{n})^{n}$ (1+1/n)ⁿ, qui tend vers $e$ e. J'ouvre sur la simulation numérique : météo, trajectoires de satellites et épidémies sont calculées par des méthodes de ce type, plus précises.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

f (x + h) \approx f (x) + h f^{'} (x) \Rightarrow y_{k + 1} = y_{k} (1 + h), y_{k} = (1 + h)^{k} f(x+h)\approx f(x)+h f'(x) \Rightarrow yₖ₊₁=yₖ(1+h), yₖ=(1+h)^(k) f (1) \approx (1 + \frac{1}{n})^{n} : 2; 2, 25; 2, 594 (n = 10); 2, 705 (n = 100) f(1)\approx(1+1/n)ⁿ: 2; 2,25; 2,594 (n=10); 2,705 (n=100) n ln (1 + \frac{1}{n}) = \frac{ln ( 1 + h ) - ln 1}{h} h \to 0 1 nln(1+1/n)=(ln(1+h)-ln 1)/h \to 1

Conclusion : la réponse à la question

On trace une courbe connue par sa dérivée en avançant le long des tangentes successives. Pour $f^{'} = f$ f'=f, $f (0) = 1$ f(0)=1, on obtient $f (1) \approx (1 + \frac{1}{n})^{n}$ f(1)≈(1+1/n)ⁿ, qui tend vers $e$ e quand le pas tend vers 0.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Calculez à la main l'approximation avec n = 2.

$h = 0, 5$ h=0,5 : $y_{1} = 1, 5$ y₁=1,5, $y_{2} = 1, 5^{2} = 2, 25$ y₂=1,5²=2,25.

Pourquoi l'approximation est-elle par défaut ?

L'exponentielle est convexe : sur chaque pas, la tangente est en dessous de la courbe, et l'écart se cumule.

Que donne la méthode avec un pas négatif ?

$h = - \frac{1}{n}$ h=-1/n donne $f (- 1) \approx (1 - \frac{1}{n})^{n}$ f(-1)≈(1-1/n)ⁿ, qui tend vers $e^{- 1}$ e⁻¹.

Combien de pas pour une erreur inférieure à 0,01 ?

L'erreur vaut environ $\frac{e}{2 n}$ e/2n : il faut $n$ n de l'ordre de 136 (on obtient $0, 0135$ 0,0135 pour $n = 100$ n=100).

Peut-on appliquer la méthode à f' = 2f ?

Oui : $y_{k + 1} = y_{k} (1 + 2 h)$ yₖ₊₁=yₖ(1+2h), qui approche $e^{2 x}$ e^(2x). La méthode vaut pour toute équation $y^{'} = F (x, y)$ y'=F(x,y).

Quel lien avec les intérêts composés ?

Placer 1 € à 100 % par an, capitalisé $n$ n fois, rapporte $(1 + \frac{1}{n})^{n}$ (1+1/n)ⁿ : la limite $e$ e correspond à une capitalisation continue.

Les pièges qui coûtent des points

Écrire $y_{k + 1} = y_{k} + h$ yₖ₊₁=yₖ+h en oubliant le facteur $f^{'} (x) = y_{k}$ f'(x)=yₖ.
Conclure que $(1 + \frac{1}{n})^{n} \to 1$ (1+1/n)ⁿ→1 parce que $1 + \frac{1}{n} \to 1$ 1+1/n→1.
Présenter l'approximation comme exacte.

Revoir les notions

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