Comment justifier $2¹⁰≈10³$ ?

$2¹⁰=1 024$, soit 1 000 à 2,4 % près. C'est aussi pourquoi $ln10/ln2≈3,32$ : il faut environ 3,3 doublements pour multiplier par 10.

Question de mathsMathsExponentielle et logarithme

Peut-on atteindre la Lune en pliant une feuille de papier ?

Q: Pourquoi peut-on appliquer ln aux deux membres de l'inéquation ?

Parce que la fonction $ln$ est strictement croissante sur $]0,+∞[$ : elle conserve l'ordre, et les deux membres sont positifs.

Q: Combien de pliages pour atteindre le sommet de l'Everest (8 849 m) ?

$0,1×2ⁿ≥8,849×10⁶$ mm, soit $2ⁿ≥8,849×10⁷$ ; $2²⁶≈6,7×10⁷$ et $2²⁷≈1,3×10⁸$ : 27 pliages.

Q: Et si chaque pliage triplait l'épaisseur ?

Il faudrait $0,1×3ⁿ≥3,844×10¹¹$, soit $n≥ln(3,844×10¹²)/ln3≈28,98/1,10≈26,4$ : 27 pliages. Changer la raison change beaucoup le nombre d'étapes, mais l'ordre de grandeur reste celui du logarithme de la distance.

Une feuille de 0,1 mm dont l'épaisseur double à chaque pliage dépasserait la distance Terre-Lune après 42 pliages : la puissance du doublement, calculée avec le logarithme, et les limites physiques du modèle.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

On m'a lancé ce défi au collège : « Si tu pouvais plier une feuille 42 fois, elle atteindrait la Lune. » J'ai trouvé cela absurde. Avec les suites géométriques et le logarithme, j'ai pu vérifier le calcul, et comprendre pourquoi notre intuition résiste autant au doublement.

L'enjeu et les notions du programme

Mesurer la puissance d'une croissance géométrique et résoudre une inéquation d'inconnue en exposant ; confronter un modèle mathématique à ses limites physiques.

Mathématiques

Suites géométriques (première)
Logarithme népérien, résolution de $2^{n} \geq A$ 2ⁿ≥ A (terminale)
Algorithme de seuil (terminale)
Puissances de 10 et ordres de grandeur (seconde)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : le défi
1,5 min
Une feuille de papier mesure environ 0,1 mm d'épaisseur. Chaque pliage double l'épaisseur. La Lune est à environ 384 400 km. Problématique : combien de pliages faudrait-il, et le résultat est-il crédible ?
2. Modéliser par une suite géométrique
3 min
L'épaisseur après $n$ n pliages est $e_{n} = 0, 1 \times 2^{n}$ eₙ=0,1×2ⁿ mm. Après 10 pliages : environ 10 cm ( $2^{10} = 1024$ 2¹⁰=1 024). Après 20 : environ 100 m. Après 30 : environ 100 km.
Astuce de calcul mental : $2^{10} \approx 1 0^{3}$ 2¹⁰≈10³, donc chaque série de 10 pliages multiplie l'épaisseur par environ 1 000.
3. Résoudre l'inéquation
4 min
On convertit : $384400$ 384 400 km $= 3, 844 \times 1 0^{11}$ =3,844×10¹¹ mm. On cherche $0, 1 \times 2^{n} \geq 3, 844 \times 1 0^{11}$ 0,1×2ⁿ≥3,844×10¹¹, soit $2^{n} \geq 3, 844 \times 1 0^{12}$ 2ⁿ≥3,844×10¹².
Le logarithme étant croissant : $n ln 2 \geq ln (3, 844 \times 1 0^{12})$ nln2≥ln(3,844×10¹²), donc $n \geq \frac{l n 3 , 844 + 12 l n 10}{l n 2} \approx \frac{1 , 35 + 27 , 63}{0 , 69} \approx 41, 8$ n≥(ln3,844+12ln10)/ln2≈(1,35+27,63)/0,69≈41,8. Il faut donc 42 pliages.
Contrôle mental : $2^{42} = 4 \times 2^{40} \approx 4 \times 1 0^{12}$ 2⁴²=4×2⁴⁰≈4×10¹², et $0, 1$ 0,1 mm $\times 4 \times 1 0^{12} = 4 \times 1 0^{11}$ ×4×10¹²=4×10¹¹ mm $= 400000$ =400 000 km.
4. Conclusion et limites
1,5 min
Mathématiquement, 42 pliages suffisent. Physiquement, c'est impossible : à chaque pliage, la longueur est divisée par 2, et le record est de 12 pliages, avec une très longue bande de papier. Le calcul montre surtout la puissance du doublement : 42 étapes suffisent pour passer du dixième de millimètre à la Lune, alors qu'une croissance de 0,1 mm par étape demanderait près de quatre mille milliards d'étapes.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

e_{n} = 0, 1 \times 2^{n} mm, 2^{10} = 1024 \approx 1 0^{3} eₙ=0,1\times2ⁿ mm , 2¹⁰=1 024\approx10³ 0, 1 \times 2^{n} \geq 3, 844 \times 1 0^{11} ⟺ n \geq \frac{ln ( 3 , 844 \times 1 0 ^{12} )}{ln 2} \approx \frac{28 , 98}{0 , 693} \approx 41, 8 0,1\times2ⁿ\geq3,844\times10¹¹\Leftrightarrow n\geqln(3,844\times10¹²)/(ln 2)\approx28,98/0,693\approx41,8 \Rightarrow n = 42 pliages \Rightarrow n=42 pliages

Conclusion : la réponse à la question

Oui, en théorie : 42 pliages suffiraient, car $2^{42}$ 2⁴² dépasse $4 \times 1 0^{12}$ 4×10¹². Ce calcul illustre la croissance exponentielle et l'usage du logarithme pour résoudre une inéquation d'inconnue en exposant ; il illustre aussi qu'un modèle doit toujours être confronté à ses hypothèses.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi peut-on appliquer ln aux deux membres de l'inéquation ?

Parce que la fonction $ln$ ln est strictement croissante sur $] 0, + \infty [$ ]0,+∞[ : elle conserve l'ordre, et les deux membres sont positifs.

Combien de pliages pour atteindre le sommet de l'Everest (8 849 m) ?

$0, 1 \times 2^{n} \geq 8, 849 \times 1 0^{6}$ 0,1×2ⁿ≥8,849×10⁶ mm, soit $2^{n} \geq 8, 849 \times 1 0^{7}$ 2ⁿ≥8,849×10⁷ ; $2^{26} \approx 6, 7 \times 1 0^{7}$ 2²⁶≈6,7×10⁷ et $2^{27} \approx 1, 3 \times 1 0^{8}$ 2²⁷≈1,3×10⁸ : 27 pliages.

Pourquoi le record réel est-il bien plus bas ?

La longueur est divisée par 2 à chaque pliage et la feuille s'épaissit aux plis : après 12 pliages, il faudrait une bande de plus d'un kilomètre pour continuer.

Écrivez l'algorithme de seuil en Python.

e = 0.1 ; n = 0 ; tant que e < 3.844e11 : e = 2*e ; n = n + 1 ; puis on affiche n, qui vaut 42.

Comment justifier

2^{10} \approx 1 0^{3}

2¹⁰≈10³ ?

$2^{10} = 1024$ 2¹⁰=1 024, soit 1 000 à 2,4 % près. C'est aussi pourquoi $\frac{l n 10}{l n 2} \approx 3, 32$ ln10/ln2≈3,32 : il faut environ 3,3 doublements pour multiplier par 10.

Et si chaque pliage triplait l'épaisseur ?

Il faudrait $0, 1 \times 3^{n} \geq 3, 844 \times 1 0^{11}$ 0,1×3ⁿ≥3,844×10¹¹, soit $n \geq \frac{l n ( 3 , 844 \times 1 0 ^{12} )}{l n 3} \approx \frac{28 , 98}{1 , 10} \approx 26, 4$ n≥ln(3,844×10¹²)/ln3≈28,98/1,10≈26,4 : 27 pliages. Changer la raison change beaucoup le nombre d'étapes, mais l'ordre de grandeur reste celui du logarithme de la distance.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier de convertir les kilomètres en millimètres (facteur 10⁶).
Arrondir $41, 8$ 41,8 à 41 : il faut l'entier supérieur pour dépasser la distance.
Présenter le résultat comme réalisable sans discuter les limites physiques.

Revoir les notions

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