Question de mathsMathsGéométrie dans l'espace

Pourquoi le plus court chemin d'un point à un plan est-il la perpendiculaire ?

Q: Développez $‖ vecteur u + vecteur v ‖²$.

$‖ vecteur u ‖²+2 vecteur u · vecteur v +‖ vecteur v ‖²$, par bilinéarité et symétrie du produit scalaire.

Si H est le projeté orthogonal de A sur un plan, le théorème de Pythagore donne AM² = AH² + HM² pour tout M du plan : la perpendiculaire est le plus court chemin. On le vérifie aussi en minimisant une fonction.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Quand on mesure la hauteur d'un plafond, on tend le mètre verticalement, jamais en biais. Cela paraît évident, mais je me suis demandé comment le démontrer. J'ai trouvé deux démonstrations, l'une géométrique et l'autre par l'analyse, et leur rencontre m'a semblé très éclairante.

L'enjeu et les notions du programme

Démontrer une propriété de minimisation par deux voies : la géométrie (Pythagore et orthogonalité) et l'analyse (étude d'une fonction).

Mathématiques

Orthogonalité d'une droite et d'un plan (terminale)
Théorème de Pythagore et produit scalaire (première et terminale)
Projeté orthogonal (terminale)
Étude de fonction et minimum (première)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : une évidence à démontrer
1,5 min
On cherche le point $M$ M d'un plan $P$ P le plus proche d'un point $A$ A extérieur. L'intuition dit : le pied de la perpendiculaire. Problématique : comment le démontrer rigoureusement ?
2. Démonstration géométrique
3,5 min
Soit $H$ H le projeté orthogonal de $A$ A sur $P$ P : $A H$ vecteur AH est orthogonal à tout vecteur du plan. Pour $M \in P$ M∈ P, $A M = A H + H M$ vecteur AM = vecteur AH + vecteur HM, avec $H M$ vecteur HM dans le plan.
$A M^{2} = ∥ A H + H M ∥^{2} = A H^{2} + 2 A H \cdot H M + H M^{2} = A H^{2} + H M^{2}$ AM²=‖ vecteur AH + vecteur HM ‖²=AH²+2 vecteur AH · vecteur HM +HM²=AH²+HM², car le produit scalaire est nul. Donc $A M \geq A H$ AM≥ AH, avec égalité seulement si $M = H$ M=H.
C'est le théorème de Pythagore, réécrit avec le produit scalaire.
3. Démonstration par l'analyse
3,5 min
On prend le plan $z = 0$ z=0 et $A (0; 0; h)$ A(0;0;h). Pour $M (x; y; 0)$ M(x;y;0), $A M^{2} = x^{2} + y^{2} + h^{2}$ AM²=x²+y²+h². Cette expression est minimale pour $x = y = 0$ x=y=0, soit $M = H (0; 0; 0)$ M=H(0;0;0), et le minimum vaut $h^{2}$ h².
Plus généralement, sur une droite $Δ$ Δ du plan passant par $H$ H, paramétrée par $M (t) = H + t u$ M(t)=H+t vecteur u, $f (t) = A M (t)^{2} = A H^{2} + t^{2} ∥ u ∥^{2}$ f(t)=AM(t)²=AH²+t²‖ vecteur u ‖², minimale en $t = 0$ t=0, avec $f^{'} (0) = 0$ f'(0)=0. La dérivée nulle traduit l'orthogonalité : $f^{'} (t) = 2 A M \cdot u$ f'(t)=2 vecteur AM · vecteur u, qui s'annule exactement quand $A M ⊥ u$ vecteur AM ⊥ vecteur u.
4. Conclusion
1,5 min
Le plus court chemin d'un point à un plan est la perpendiculaire, ce que démontrent le théorème de Pythagore et l'étude d'une fonction. Les deux preuves se rejoignent : minimiser une distance revient à imposer une orthogonalité. J'ouvre sur la méthode des moindres carrés en statistique, qui repose sur la même idée de projection orthogonale.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

A M^{2} = A H + H M^{2} = A H^{2} + 2 = 0 A H \cdot H M + H M^{2} \geq A H^{2} AM²=bigl‖ vecteur AH + vecteur HM bigr‖²=AH²+2 vecteur AH \cdot vecteur HM _=0+HM²\geq AH² f (t) = A H^{2} + t^{2} ∥ u ∥^{2}, f^{'} (t) = 2 A M \cdot u = 0 ⟺ A M ⊥ u f(t)=AH²+t²‖ vecteur u ‖², f'(t)=2 vecteur AM \cdot vecteur u =0\Leftrightarrow vecteur AM ⊥ vecteur u

Conclusion : la réponse à la question

La perpendiculaire est le plus court chemin parce que, pour tout autre point du plan, le théorème de Pythagore ajoute un terme positif au carré de la distance. L'analyse confirme ce résultat : minimiser la distance, c'est annuler une dérivée qui exprime l'orthogonalité.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Qu'est-ce qu'une droite orthogonale à un plan ?

Une droite orthogonale à toutes les droites du plan ; il suffit qu'elle soit orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

Développez

∥ u + v ∥^{2}

‖ vecteur u + vecteur v ‖².

$∥ u ∥^{2} + 2 u \cdot v + ∥ v ∥^{2}$ ‖ vecteur u ‖²+2 vecteur u · vecteur v +‖ vecteur v ‖², par bilinéarité et symétrie du produit scalaire.

Le résultat est-il vrai pour la distance d'un point à une droite ?

Oui, avec la même démonstration : le projeté orthogonal sur la droite réalise la plus petite distance.

Quel lien avec les moindres carrés ?

La droite des moindres carrés minimise une somme de carrés d'écarts : géométriquement, c'est une projection orthogonale dans un espace à plusieurs dimensions.

Calculez

A H

AH pour

A (1; 2; 3)

A(1;2;3) et le plan

z = 0

z=0.

$H (1; 2; 0)$ H(1;2;0) et $A H = 3$ AH=3.

Les pièges qui coûtent des points

Affirmer le résultat comme évident.
Oublier que le produit scalaire nul vient de l'orthogonalité de AH au plan.
Confondre projeté orthogonal et projection parallèlement à une autre direction.

Revoir les notions

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