Question de mathsMathsDénombrement

Combien de poignées de main échangent n personnes qui se saluent toutes ?

n personnes échangent n(n − 1)/2 poignées de main : on peut compter les paires avec C(n, 2), ou additionner 1 + 2 + … + (n − 1) comme Gauss. Le même calcul donne le nombre de matchs d'un championnat.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Lors d'une réunion de rentrée, tout le monde s'est serré la main et quelqu'un a demandé combien de poignées de main cela faisait. J'ai répondu $30 \times 30$ 30×30, puis $30 \times 29$ 30×29, avant de comprendre qu'on comptait chaque poignée deux fois. Cette petite erreur m'a fait découvrir plusieurs façons de compter juste.

L'enjeu et les notions du programme

Compter des paires de deux façons différentes (combinaisons et somme d'entiers) et éviter le double comptage.

Mathématiques

Combinaisons $(2 n)$ binom n2 (terminale)
Somme $1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ 1+2+…+n=(n(n+1))/2 (première)
Suites arithmétiques (première)
Raisonnement par récurrence (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : l'erreur du double comptage
1,5 min
Dans un groupe de 30 personnes qui se saluent toutes une fois, combien de poignées de main ? Chacun serre 29 mains, mais $30 \times 29$ 30×29 compte chaque poignée deux fois. Problématique : comment compter juste, et de combien de façons ?
2. Compter des paires
3 min
Une poignée de main correspond à une paire de personnes, sans ordre. Le nombre de paires est $(2 n) = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ binom n2=(n(n-1))/2. Pour 30 personnes : $\frac{30 \times 29}{2} = 435$ 30×29/2=435.
On retrouve la correction du double comptage : $n (n - 1)$ n(n-1) compte des couples ordonnés (qui tend la main à qui), et chaque paire correspond à 2 couples.
3. Compter en arrivant un par un
4 min
Les personnes arrivent une par une et saluent celles déjà présentes : la 2ᵉ serre 1 main, la 3ᵉ 2 mains, …, la $n$ n-ième $n - 1$ n-1 mains. Total : $1 + 2 + \dots + (n - 1)$ 1+2+…+(n-1).
Gauss, enfant, aurait calculé $1 + 2 + \dots + 100$ 1+2+…+100 en écrivant la somme à l'endroit et à l'envers : chaque colonne fait 101, il y a 100 colonnes, donc $2 S = 100 \times 101$ 2S=100×101 et $S = 5050$ S=5 050. Ici : $1 + \dots + (n - 1) = \frac{( n - 1 ) n}{2}$ 1+…+(n-1)=((n-1)n)/2. Les deux méthodes concordent.
Application : un championnat de football de 18 équipes en matchs aller-retour compte $2 \times (2 18) = 306$ 2×binom182=306 matchs.
4. Conclusion
1,5 min
$n$ n personnes échangent $\frac{n ( n - 1 )}{2}$ (n(n-1))/2 poignées de main. Compter des paires avec $(2 n)$ binom n2 ou additionner les poignées au fur et à mesure donne le même résultat, ce qui illustre le principe du double comptage. J'ouvre sur la croissance quadratique : doubler le groupe multiplie environ par 4 le nombre de poignées de main.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

(2 n) = \frac{n ( n - 1 )}{2} n = 30 : \frac{30 \times 29}{2} = 435 C(n, 2) =(n(n-1))/2 n=30 : 30\times29/2=435 1 + 2 + \dots + (n - 1) = \frac{( n - 1 ) n}{2} S S 2 S = = = 1 (n - 1) n + \dots + + \dots + + \dots + (n - 1) 1 n 1+2+\dots+(n-1)=((n-1) n)/2 rccclS = 1 +\dots+ (n-1) ; S = (n-1) +\dots+ 1 ; hline2S = n +\dots+ n

Conclusion : la réponse à la question

Le nombre de poignées de main est $(2 n) = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ binom n2=(n(n-1))/2. Deux comptages différents (les paires, puis les arrivées successives) mènent au même résultat, ce qui en fait une démonstration solide et une bonne illustration du double comptage.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Combien de personnes faut-il pour 1 000 poignées de main au moins ?

$\frac{n ( n - 1 )}{2} \geq 1000 ⟺ n (n - 1) \geq 2000$ (n(n-1))/2≥1 000⇔ n(n-1)≥2 000. $45 \times 44 = 1980$ 45×44=1 980, $46 \times 45 = 2070$ 46×45=2 070 : 46 personnes.

Démontrez la formule de la somme par récurrence.

Initialisation : $1 = \frac{1 \times 2}{2}$ 1=1×2/2. Hérédité : si $1 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ 1+…+n=(n(n+1))/2, alors en ajoutant $n + 1$ n+1 on obtient $\frac{n ( n + 1 )}{2} + (n + 1) = \frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2}$ (n(n+1))/2+(n+1)=((n+1)(n+2))/2.

Combien de diagonales a un polygone à n côtés ?

Les segments reliant deux sommets sont $(2 n)$ binom n2 ; on retire les $n$ n côtés : $\frac{n ( n - 1 )}{2} - n = \frac{n ( n - 3 )}{2}$ (n(n-1))/2-n=(n(n-3))/2. Un hexagone en a 9.

Pourquoi la croissance est-elle quadratique ?

$\frac{n ( n - 1 )}{2} \approx \frac{n ^{2}}{2}$ (n(n-1))/2approxn²/2 pour $n$ n grand : doubler $n$ n multiplie par environ 4.

Combien de couples ordonnés (expéditeur, destinataire) de messages dans un groupe ?

$n (n - 1)$ n(n-1) : ce sont des arrangements de 2 éléments, car l'ordre compte.

Dans un tournoi où chaque équipe affronte une fois chacune des autres, on a joué 66 matchs. Combien d'équipes ?

On résout $\frac{n ( n - 1 )}{2} = 66$ (n(n-1))/2=66, soit $n^{2} - n - 132 = 0$ n²-n-132=0. Le discriminant vaut $1 + 528 = 529 = 2 3^{2}$ 1+528=529=23², donc $n = \frac{1 + 23}{2} = 12$ n=(1+23)/2=12 équipes (l'autre racine est négative).

Les pièges qui coûtent des points

Oublier de diviser par 2 et répondre $n (n - 1)$ n(n-1).
Écrire $n^{2}$ n² en comptant qu'une personne se serre la main.
Présenter une seule méthode sans vérification.

Revoir les notions

Autres questions : dénombrement

Toutes les questions de maths →

Préparer l'oral, pas seulement le contenu

Gestion des 20 minutes de préparation, usage du tableau, posture debout, réponses au jury : la méthode complète, conforme aux règles de la session 2027.

Méthode : traiter une question de Grand oral →

Continuer la préparation

Le Grand oral 2027 →Méthode : traiter une question →Toutes les questions, par combinaison →Questions maths-physique-chimie →Questions maths-SES →Questions maths-SVT →Questions maths-NSI →Questions maths-SI →Questions maths-HGGSP →Questions maths-anglais →