Vérifiez $N'(t)=N(t)(1-N(t)/K)$.

$1-N/K=(e^(-t))/(1+e^(-t))$, donc $N(1-N/K)=K/(1+e^(-t))×(e^(-t))/(1+e^(-t))=N'(t)$.

Question de mathsMathsDérivation et optimisation

Comment repérer mathématiquement le moment où une croissance commence à ralentir ?

Q: Une exponentielle a-t-elle un point d'inflexion ?

Non : $t↦ e^(t)$ est convexe partout, sa vitesse augmente toujours. C'est pourquoi un modèle exponentiel ne peut pas décrire la fin d'une épidémie.

Q: Comment repérer une inflexion sur des données réelles ?

On regarde quand le nombre de nouveaux cas (différences successives) cesse d'augmenter : c'est l'équivalent discret de N″ qui change de signe.

Q: Le modèle logistique est-il réaliste ?

C'est une première approximation : il suppose une population homogène et des conditions constantes. Les mesures sanitaires ou les variants modifient les paramètres en cours de route.

Une grandeur qui suit une courbe en S croît de plus en plus vite puis de moins en moins vite ; le basculement est un point d'inflexion, où la dérivée seconde change de signe et où la vitesse de croissance est maximale.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Pendant une épidémie, les journaux annonçaient « le pic de nouveaux cas est passé » alors que le nombre total de cas continuait d'augmenter. Je ne comprenais pas comment une épidémie pouvait ralentir tout en progressant. En étudiant la convexité, j'ai trouvé la notion précise : le point d'inflexion.

L'enjeu et les notions du programme

Interpréter la dérivée première (vitesse) et la dérivée seconde (accélération) d'une grandeur, et identifier un point d'inflexion comme le maximum de la vitesse.

Mathématiques

Dérivée et vitesse de variation (première)
Dérivée seconde, convexité et point d'inflexion (terminale)
Dérivée de $e^{u}$ e^(u) et d'un quotient (terminale)
Limites et asymptotes (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : croître en ralentissant
1,5 min
Le nombre total de cas $N (t)$ N(t) d'une épidémie augmente toujours, mais le nombre de nouveaux cas par jour, qui est la vitesse $N^{'} (t)$ N'(t), peut diminuer. Problématique : comment repérer le moment où la croissance commence à ralentir ?
2. Un modèle en S
3,5 min
On prend le modèle logistique $N (t) = \frac{K}{1 + e ^{- t}}$ N(t)=K/(1+e^(-t)), avec $K$ K le nombre final de cas. $N$ N est croissante, tend vers 0 en $- \infty$ -∞ et vers $K$ K en $+ \infty$ +∞.
Sa dérivée $N^{'} (t) = \frac{K e ^{- t}}{( 1 + e ^{- t} ) ^{2}}$ N'(t)=(Ke^(-t))/((1+e^(-t))²) est positive : c'est le nombre de nouveaux cas par unité de temps. On remarque que $N^{'} (t) = N (t) (1 - \frac{N ( t )}{K})$ N'(t)=N(t)(1-N(t)/K) : la vitesse est proportionnelle au nombre de cas et à la part de population non encore touchée.
3. Le point d'inflexion
3,5 min
La vitesse $N^{'}$ N' est maximale quand $N^{''}$ N'' s'annule en changeant de signe. En dérivant $N^{'} = N - \frac{N ^{2}}{K}$ N'=N-N²/K : $N^{''} = N^{'} (1 - \frac{2 N}{K})$ N''=N'(1-2N/K). Comme $N^{'} > 0$ N'>0, $N^{''}$ N'' a le signe de $1 - \frac{2 N}{K}$ 1-2N/K : positif tant que $N < \frac{K}{2}$ N<K/2, négatif ensuite.
La courbe est convexe puis concave : le point d'inflexion est atteint quand la moitié des cas est atteinte, ici en $t = 0$ t=0. C'est le pic des nouveaux cas. Avant, la croissance accélère ; après, elle ralentit, même si $N$ N continue d'augmenter.
4. Conclusion
1,5 min
Le moment où une croissance commence à ralentir est le point d'inflexion de la courbe : la dérivée seconde y change de signe et la vitesse y est maximale. Dans le modèle logistique, il survient à la moitié de la valeur finale. J'ouvre sur l'usage pratique : repérer l'inflexion permet d'estimer la valeur finale, environ le double de la valeur atteinte au pic.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

N (t) = \frac{K}{1 + e ^{- t}}, N^{'} (t) = N (t) (1 - \frac{N ( t )}{K}) > 0 N(t)=K/(1+e^(-t)), N'(t)=N(t)(1-N(t)/K)>0 N^{''} (t) = N^{'} (t) (1 - \frac{2 N ( t )}{K}) : N^{''} > 0 ⟺ N < \frac{K}{2} N''(t)=N'(t)(1-2N(t)/K) : N''>0\Leftrightarrow N<K/2 inflexion pour N = \frac{K}{2} (t = 0) : pic des nouveaux cas inflexion pour N=K/2 (t=0) : pic des nouveaux cas

Conclusion : la réponse à la question

Une croissance ralentit à partir du point d'inflexion de sa courbe, là où la dérivée seconde change de signe. Ce point correspond au maximum de la vitesse (le pic des nouveaux cas) et, dans le modèle logistique, à la moitié de la valeur finale.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Vérifiez

N^{'} (t) = N (t) (1 - \frac{N ( t )}{K})

N'(t)=N(t)(1-N(t)/K).

$1 - \frac{N}{K} = \frac{e ^{- t}}{1 + e ^{- t}}$ 1-N/K=(e^(-t))/(1+e^(-t)), donc $N (1 - \frac{N}{K}) = \frac{K}{1 + e ^{- t}} \times \frac{e ^{- t}}{1 + e ^{- t}} = N^{'} (t)$ N(1-N/K)=K/(1+e^(-t))×(e^(-t))/(1+e^(-t))=N'(t).

Que vaut la vitesse maximale ?

$N^{'} (0) = \frac{K \times 1}{( 1 + 1 ) ^{2}} = \frac{K}{4}$ N'(0)=K×1/((1+1)²)=K/4.

Une exponentielle a-t-elle un point d'inflexion ?

Non : $t \mapsto e^{t}$ t↦ e^(t) est convexe partout, sa vitesse augmente toujours. C'est pourquoi un modèle exponentiel ne peut pas décrire la fin d'une épidémie.

Comment repérer une inflexion sur des données réelles ?

On regarde quand le nombre de nouveaux cas (différences successives) cesse d'augmenter : c'est l'équivalent discret de N″ qui change de signe.

Le modèle logistique est-il réaliste ?

C'est une première approximation : il suppose une population homogène et des conditions constantes. Les mesures sanitaires ou les variants modifient les paramètres en cours de route.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre « la croissance ralentit » et « la grandeur diminue ».
Chercher l'inflexion là où N′ s'annule au lieu de N″.
Présenter le modèle logistique comme une loi exacte.

Revoir les notions

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