Question de mathsMathsTrigonométrie et phénomènes périodiques

Pourquoi la dérivée du sinus est-elle le cosinus ?

Q: Que vaut la dérivée de $sin(2t)$ ?

$2cos(2t)$ : le point tourne deux fois plus vite.

Q: Montrez que $sin$ vérifie $y''=-y$.

$sin'=cos$, $sin''=cos'=-sin$.

Q: Quelle est l'accélération du point ?

$(-cos t;-sin t)=- vecteur OM $ : elle est dirigée vers le centre, c'est l'accélération centripète.

Un point qui parcourt le cercle unité à vitesse 1 a pour position (cos t ; sin t) ; sa vitesse, tangente au cercle, vaut (−sin t ; cos t). Ce raisonnement cinématique explique sin′ = cos et cos′ = −sin, que confirme la limite sin x / x → 1.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Dans le cours de terminale, on admet que la dérivée de $sin$ sin est $cos$ cos. Je trouvais frustrant d'apprendre cette formule sans la comprendre. En imaginant un point qui tourne sur un cercle, j'ai trouvé une explication visuelle très convaincante, que je veux partager.

L'enjeu et les notions du programme

Interpréter les dérivées de sinus et cosinus par le mouvement circulaire uniforme, et les relier à la limite fondamentale sin x / x → 1.

Mathématiques

Cercle trigonométrique, enroulement de la droite réelle (première)
Dérivées de sin et cos, nombre dérivé (terminale)
Limite $\frac{s i n x}{x} \to 1$ (sin x)/x→1 (terminale)
Produit scalaire et orthogonalité (première)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : une formule admise
1,5 min
Le cours affirme $sin^{'} = cos$ sin'=cos et $cos^{'} = - sin$ cos'=-sin. Problématique : peut-on comprendre pourquoi, sans formules d'addition ?
2. Le cercle parcouru à vitesse 1
4 min
Un point $M (t)$ M(t) parcourt le cercle trigonométrique de sorte qu'au temps $t$ t, l'arc parcouru vaut $t$ t : $M (t) = (cos t; sin t)$ M(t)=(cos t;sin t). Il avance à vitesse constante 1 (une unité de longueur d'arc par unité de temps), grâce à la mesure en radians.
Son vecteur vitesse $(cos^{'} (t); sin^{'} (t))$ (cos'(t);sin'(t)) est tangent au cercle, donc orthogonal au rayon $O M$ vecteur OM, et de norme 1. Les seuls vecteurs de norme 1 orthogonaux à $(cos t; sin t)$ (cos t;sin t) sont $(- sin t; cos t)$ (-sin t;cos t) et $(sin t; - cos t)$ (sin t;-cos t). Comme le point tourne dans le sens direct, c'est $(- sin t; cos t)$ (-sin t;cos t). Donc $cos^{'} = - sin$ cos'=-sin et $sin^{'} = cos$ sin'=cos.
L'orthogonalité se vérifie aussi par le calcul : en dérivant $cos^{2} t + sin^{2} t = 1$ cos²t+sin²t=1, on obtient $2 cos t cos^{'} (t) + 2 sin t sin^{'} (t) = 0$ 2cos tcos'(t)+2sin tsin'(t)=0, c'est-à-dire $O M \cdot v = 0$ vecteur OM · vecteur v =0.
3. Le lien avec la limite fondamentale
3 min
En $t = 0$ t=0, la vitesse vaut $(0; 1)$ (0;1) : $sin^{'} (0) = 1$ sin'(0)=1, ce qui est exactement $lim_{x \to 0} \frac{s i n x}{x} = 1$ lim_x→0(sin x)/x=1. Géométriquement, pour un petit arc, la hauteur $sin x$ sin x et l'arc $x$ x sont presque égaux.
Ce raisonnement n'est pas une démonstration complète (on admet que le mouvement est dérivable et que sa vitesse est tangente), mais il donne le sens de la formule. Les manuels la démontrent avec la limite de $\frac{s i n x}{x}$ (sin x)/x et des formules d'addition.
4. Conclusion
1,5 min
La dérivée du sinus est le cosinus parce qu'un point qui tourne sur le cercle à vitesse 1 a une vitesse perpendiculaire à son rayon : quand on le décale d'un quart de tour, la position devient la vitesse. J'ouvre sur l'équation $y^{''} = - y$ y''=-y, dont sinus et cosinus sont les solutions, et qui décrit les oscillations d'un ressort.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

M (t) = (cos t; sin t), v (t) = (cos^{'} (t); sin^{'} (t)) ⊥ O M, ∥ v ∥ = 1 M(t)=(cos t;sin t), vecteur v (t)=bigl(cos'(t);sin'(t)bigr)⊥ vecteur OM , ‖ vecteur v ‖=1 \Rightarrow v (t) = (- sin t; cos t) : cos^{'} = - sin, sin^{'} = cos \Rightarrow vecteur v (t)=(-sin t;cos t) : cos'=-sin, sin'=cos cos^{2} t + sin^{2} t = 1 \Rightarrow 2 cos t cos^{'} (t) + 2 sin t sin^{'} (t) = 0 cos²t+sin²t=1 \Rightarrow 2cos tcos'(t)+2sin tsin'(t)=0

Conclusion : la réponse à la question

Le mouvement d'un point sur le cercle à vitesse 1 explique $sin^{'} = cos$ sin'=cos et $cos^{'} = - sin$ cos'=-sin : la vitesse est la position tournée d'un quart de tour. Cette interprétation relie la trigonométrie, la dérivation et le produit scalaire.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi la vitesse est-elle de norme 1 ?

Parce que l'arc parcouru au temps t vaut t, grâce à la mesure en radians : la vitesse est d'une unité de longueur par unité de temps.

Que vaut la dérivée de

sin (2 t)

sin(2t) ?

$2 cos (2 t)$ 2cos(2t) : le point tourne deux fois plus vite.

Montrez que

sin

sin vérifie

y^{''} = - y

y''=-y.

$sin^{'} = cos$ sin'=cos, $sin^{''} = cos^{'} = - sin$ sin''=cos'=-sin.

Quelle est l'accélération du point ?

$(- cos t; - sin t) = - O M$ (-cos t;-sin t)=- vecteur OM : elle est dirigée vers le centre, c'est l'accélération centripète.

Ce raisonnement est-il une démonstration ?

Pas complètement : il admet que la vitesse est tangente au cercle et que les coordonnées sont dérivables. Il donne une interprétation solide, que la démonstration par les limites rend rigoureuse.

Les pièges qui coûtent des points

Présenter l'argument cinématique comme une démonstration complète.
Oublier que tout repose sur la mesure en radians.
Confondre le sens de rotation et obtenir sin′ = −cos.

Revoir les notions

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